Grade 11 2004

Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $\widehat{AB}$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}?$$

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos \alpha}{a^3} + \frac{\cos \beta}{b^3} + \frac{\cos \gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc},$$ pri čemu su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ odgovarajući kutovi.

Visine trostrane piramide sijeku se u jednoj točki. Dokažite da ta točka, težište jedne strane piramide, nožište visine na tu stranu i tri točke koje dijele preostale tri visine u omjeru $2:1$, počevši od vrha piramide, leže na istoj sferi.

Konačan broj polja beskonačne kvadratne mreže obojen je crnom bojom. Dokažite da je u toj ravnini moguće odabrati konačno mnogo kvadrata koji zadovoljavaju svaki od sljedećih uvjeta:

(i) Unutrašnjosti svaka dva različita kvadrata su disjunktne (imaju prazan presjek).

(ii) Svako crno obojeno polje leži u nekom od tih kvadrata.

(iii) Površina crnih polja u svakom od odabranih kvadrata je barem $\frac{1}{5}$, a najviše $\frac{4}{5}$ površine tog kvadrata.