Grade 11 2013

Odredi nenegativni realni broj $a$ tako da vrijednost izraza

$$a^3 - a^2 - 2\sqrt{a}$$

bude najmanja moguća.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoje prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da vrijedi

$$\left\{ \begin{aligned} p + 1 &= 2x^2 \\ p^2 + 1 &= 2y^2. \end{aligned} \right.$$

Dokaži da je među bilo koja četiri broja iz intervala $\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ moguće odabrati dva broja, nazovimo ih $x$ i $y$, tako da vrijedi

$$8 \cos x \cos y \cos (x - y) + 1 > 4 \left(\cos^2 x + \cos^2 y\right).$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ sijeće kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.

Dokaži da vrijedi $|DE| = |DF| = |AB|$.

Na natjecanju je sudjelovalo $n$ učenika i svaki učenik je riješio točno tri zadatka. Za svaka dva učenika postoji točno jedan zadatak koji su obojica riješila, a svaki zadatak je riješilo točno $k$ učenika. Za koje vrijednosti prirodnih brojeva $n$ i $k$ je to moguće?