Grade 11 2014

Neka je $ABC$ jednakostranični trokut sa stranicama duljine $1$. Točka $X$ na polupravcu $AB$ i točka $Y$ na polupravcu $AC$ odabrane su tako da su $|AX|$ i $|AY|$ prirodni brojevi. Može li polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ biti $\sqrt{2014}$?

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $P$ takva da je

$$\measuredangle APB = \measuredangle CBA + \measuredangle ACB, \quad \measuredangle BPC = \measuredangle ACB + \measuredangle BAC.$$

Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AC| \cdot |BP|}{|BC|} = \frac{|BC| \cdot |AP|}{|AB|}.$$

Postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ za koje su $m^2 + n$ i $n^2 + m$ kvadrati prirodnih brojeva?

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} \geqslant \frac{3a + 2b - c}{4}.$$

Na kružnici duljine $6N$ označeno je $3N$ točaka koje dijele tu kružnicu na ukupno $3N$ lukova: $N$ lukova duljine $1$, $N$ lukova duljine $2$ i $N$ lukova duljine $3$.

Dokaži da među označenim točkama postoje dvije koje su krajnje točke nekog promjera te kružnice.