Grade 12 2004

Neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1,1\}$ vrijedi $$|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n| \leq |\varepsilon_1 w_1 + \ldots + \varepsilon_n w_n|.$$

Dokažite da je $$|z_1|^2 + \ldots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \ldots + |w_n|^2.$$

Unutar trokuta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajućim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje točke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $$\measuredangle BPC = \measuredangle CPA = \measuredangle APB = 120°,$$ $$\measuredangle BQC = 60° + \alpha, \quad \measuredangle CQA = 60° + \beta, \quad \measuredangle AQB = 60° + \gamma.$$

Dokažite da vrijedi jednakost $$(|AP| + |BP| + |CP|)^3 \cdot |AQ| \cdot |BQ| \cdot |CQ| = (abc)^2.$$

Nizovi realnih brojeva $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$, $n \in \mathbb{N}$, definirani su formulama $$x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n^2 - 1}, \quad y_{n+1} = \frac{2y_n}{y_n^2 - 1}, \quad z_{n+1} = \frac{2z_n}{z_n^2 - 1},$$

a početni članovi su $x_1 = 2$, $y_1 = 4$ i $z_1$ takav da vrijedi $x_1 y_1 z_1 = x_1 + y_1 + z_1$.

a) Provjerite da su za svaki $n \in \mathbb{N}$ zadovoljeni uvjeti: $x_n^2 \neq 1$, $y_n^2 \neq 1$, $z_n^2 \neq 1$.

b) Da li postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $x_k + y_k + z_k = 0$?

Odredite sve realne brojeve $\alpha$ sa svojstvom da su svi brojevi u nizu $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 2^2\alpha, \ldots, \cos 2^n\alpha, \ldots$$ negativni.