Grade 12 2005

Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $$a_n = a_1 \cdots a_{n-1} + 1, \quad \text{za } n \geq 2.$$ Odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $$\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_n} < M \quad \text{za svaki } m \in \mathbb{N}.$$

Neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su $1$. Uz pretpostavku da su sve nultočke od $P$ realni brojevi, dokažite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama $2$ i $5$, ima $2005$ znamenaka i djeljiv je s $2^{2005}$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut i neka su $P$ i $Q$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$. Dokažite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.