Grade 12 2015

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x y) (x + f (y)) = x ^ {2} f (y) + y ^ {2} f (x).$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka su $A'$, $B'$, $C'$ redom nožišta okomica povučenih iz težišta trokuta $ABC$ na pravce $BC$, $CA$, $AB$. Odredi omjer površina trokuta $A'B'C'$ i $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da

$$d n + 1 \mid d ^ {2} + n ^ {2}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve pozitivne realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\frac {2 ^ {2}}{x + 1} + \frac {3 ^ {2}}{x + 2} + \dots + \frac {(n + 1) ^ {2}}{x + n} + n x ^ {2} = n x + \frac {n (n + 3)}{2}.$$

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljaju se tromino-pločice oblika slova L (vidi sliku) tako da svaka tromino-pločica prekriva točno tri polja ploče, a međusobno se ne prekrivaju.

Koliko je najmanje tromino-pločica potrebno postaviti na ploču ako želimo da se nakon toga više ne može postaviti nijedna dodatna tromino-pločica?