Grade 12 2017

Neka su $c$ i $d$ pozitivni djelitelji prirodnog broja $n$. Ako je $c > d$, dokaži da je $c > d + \dfrac{d^2}{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x + f(y)) = f(f(y)) + 2x f(y) + x^2.$$

Za točku $P$ unutar trokuta $ABC$ kažemo da je sjajna ako se iz nje može povući točno 27 polupravaca koji sijeku stranice trokuta $ABC$ tako da je njima trokut podijeljen na 27 manjih trokuta jednakih površina. Odredi broj svih sjajnih točaka trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AB| > |AC|$. Neka je $O$ središte kružnice opisane tom trokutu, a $\overline{OQ}$ promjer kružnice opisane trokutu $BOC$. Pravac paralelan s pravcem $BC$ kroz $A$ siječe pravac $CQ$ u točki $M$, a pravac paralelan s pravcem $CQ$ kroz $A$ siječe pravac $BC$ u točki $N$. Neka je $T$ presjek pravaca $AQ$ i $MN$.

Dokaži da točka $T$ leži na kružnici opisanoj trokutu $BOC$.

Na nekim poljima ploče dimenzija $2017 \times 2017$ nalazi se po jedna bubamara; ostala polja su prazna. Bubamara se pomiču po ploči, nikad ju ne napuštajući, prema sljedećim pravilima. Svaka bubamara se svake sekunde pomakne na susjedno polje. Pomaci su horizontalni (na polje lijevo ili desno od onog na kojem se bubamara nalazi) ili vertikalni (na polje iznad ili ispod onog na kojem se bubamara nalazi). Bubamara koja napravi horizontalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti vertikalni pomak, a bubamara koja napravi vertikalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti horizontalni pomak.

Odredi najmanji broj bubamara tako da, neovisno o njihovom početnom rasporedu i neovisno o njihovim pomacima možemo biti sigurni da će se u nekom trenutku dvije bubamare naći na istom polju.