Grade 12 2019

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)(x - a^4)$$

realni.

Rudi i Miljen igraju igru na školskoj ploči naizmjence odigravajući poteze. Igrač koji je na potezu bira dva relativno prosta broja napisana na ploči, briše ih te zapisuje na ploču njihov zbroj. Gubi igrač koji to ne može napraviti. Igru započinje Rudi. Dokaži da Miljen ima pobjedničku strategiju ako je na početku na ploči bilo napisano

(a) 2019 jedinica;

(b) 2020 jedinica.

Neka je $C$ realni broj, $(a_n)$ niz realnih brojeva i neka je, za svaki prirodni broj $n$,

$$M_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$$

Ako za svaka tri međusobno različita prirodna broja $i$, $j$, $k$ vrijedi

$$(i - j)M_k + (j - k)M_i + (k - i)M_j = C,$$

dokaži da je niz $(a_n)$ aritmetički.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta visina trokuta $ABC$ iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Pravci $EF$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. Paralela s $EF$ kroz točku $D$ siječe pravac $AC$ u točki $Q$ i pravac $AB$ u točki $R$. Ako je $N$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle NQP + \measuredangle NRP < 180°$, dokaži da je $|BN| > |CN|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ koje zadovoljavaju sljedeća dva uvjeta.

• Za sve $a, b \in \mathbb{N}$ vrijedi

$$f(a, b) + a + b = f(a, 1) + f(1, b) + ab.$$

• Ako su $a, b \in \mathbb{N}$ takvi da je neki od brojeva $a + b$ i $a + b - 1$ djeljiv prostim brojem $p > 2$, onda je i $f(a, b)$ djeljiv s $p$.