Grade 12 2021

Neka je $(x_n)$ niz takav da je $x_0 = 1$, $x_1 = 2$, sa svojstvom da je niz $(y_n)$ zadan relacijom $$y_n = \binom{n}{0}x_0 + \binom{n}{1}x_1 + \ldots + \binom{n}{n}x_n, \quad \text{za } n \in \mathbb{N}_0$$ geometrijski niz. Odredi $x_{2020}$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodan broj te neka je $(p_1, \ldots, p_n)$ neka permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$. Pokaži da vrijedi $$\frac{1}{p_1 + p_2} + \frac{1}{p_2 + p_3} + \ldots + \frac{1}{p_k + p_{k+1}} + \ldots + \frac{1}{p_{n-1} + p_n} > \frac{n - 1}{n + 2}.$$

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a + 2021 = 3^b \cdot 25^c.$$

Dana je ploča dimenzija $n \times n$ i po jedna pločica dimenzija $1 \times 1$, $1 \times 2$, \ldots, $1 \times n$.

Na koliko načina je moguće odabrati $\frac{1}{2}n(n + 1)$ polja ploče tako da odabrani dio bude moguće prekriti horizontalno postavljenim pločicama, ali također i vertikalno postavljenim pločicama?

Dan je trokut $ABC$ čije je središte upisane kružnice točka $I$. Odabrane su dvije točke, točka $D$ na luku $\widehat{AB}$ opisane kružnice trokuta $ABC$ koji ne sadrži točku $C$, te točka $E$ na dužini $\overline{BC}$, tako da vrijedi $\measuredangle ADI = \measuredangle IEC$. Dokaži da postoji točka, neovisna o odabiru točaka $D$ i $E$, kojom pravac $DE$ prolazi.