Croatian Mathematical Olympiad 2016

Niz $a_1, a_2, \ldots$ pozitivnih realnih brojeva zadovoljava uvjet

$$a_{k+1} \geq \frac{ka_k}{a_k^2 + k - 1}$$

za svaki prirodni broj $k$. Dokaži da je

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n$$

za svaki $n \geq 2$.

U ravnini je dan skup $A$ koji sadrži $2016$ točaka tako da nikoje četiri točke iz skupa $A$ ne leže na istom pravcu. Dokaži da je moguće odabrati podskup $B \subset A$ koji sadrži barem $63$ točke tako da nikoje tri točke iz skupa $B$ ne leže na istom pravcu.

Zadan je tetivni četverokut $ABCD$ takav da se tangente u točkama $B$ i $D$ na njegovu opisanu kružnicu $k$ sijeku na pravcu $AC$. Točke $E$ i $F$ leže na kružnici $k$ tako da su pravci $AC$, $DE$ i $BF$ paralelni. Neka je $M$ sjecište pravaca $BE$ i $DF$. Ako su $P$, $Q$ i $R$ nožišta visina trokuta $ABC$, dokaži da točke $P$, $Q$, $R$ i $M$ leže na istoj kružnici.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Dan je prirodni broj $n$. Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$ vrijedi nejednakost

$$\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leq \frac{(n+1)^2}{4n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)^2.$$

Na ploči $N \times N$ ($N \geq 2$) dva su dijagonalno suprotna kutna polja obojana u crno, a sva ostala obojana su u bijelo. U jednom koraku odaberemo redak ili stupac i promijenimo boju svakom polju u tom retku ili stupcu iz crne u bijelu i obratno. Koji je najmanji dodatni broj polja koje na početku moramo obojati u crno kako bismo nakon konačnog broja opisanih koraka mogli dobiti ploču na kojoj su sva polja crna?

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2) + x f(y) = f(x) f(x + f(y)).$$

Dano je $N \geq 3$ točaka u ravnini takvih da nikoje tri ne leže na istom pravcu. Svaka dužina koja spaja dvije dane točke je obojana crvenom ili plavom bojom. Dokaži da postoji $N - 1$ dužina iste boje koje ne dijele ravninu na više od jednog dijela takve da se nikoje dvije ne sijeku osim u vrhovima.

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dana je funkcija $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takva da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x f (y)) + f (x ^ {2}) = f (x) (x + f (y))$$

te da je $f(2) = 3$. Odredi $f(2^{2016})$.

Može li se ploča $12 \times 12$ popločati L-trominima tako da svaki redak i svaki stupac siječe isti broj tromina?

L-tromino se sastoji od tri jedinična kvadrata koja se ne nalaze u istom stupcu ili retku.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Polupravci $AD$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. U unutrašnjosti trokuta $DCP$ dana je točka $M$ takva da pravac $PM$ raspolavlja kut $\measuredangle CMD$. Pravac $CM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $DMP$ ponovno u točki $Q$, a pravac $DM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $CMP$ ponovno u točki $R$.

a) Dokaži da dužine $\overline{CQ}$ i $\overline{DR}$ imaju jednaku duljinu.

b) Dokaži da trokuti $PAQ$ i $PBR$ imaju jednaku površinu.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$