Grade 9 2025

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $A$ u šiljastokutnome trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na $AB$ i $AC$, a točke $G$ i $H$ redom su nožišta okomica iz $E$ i $F$ na $AD$. Ako je $|AH| = |HG| = |GD| = 2$, odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\frac{a^2 + b^2 + ab - 4a - 2b + 7}{a^2 + b^2 - 4a + 6},$$

pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi.

Na ploču dimenzija $4 \times 4$ treba rasporediti određeni broj žetona tako da se na nekim poljima nalazi po jedan žeton, a neka su polja prazna. Za raspored žetona kažemo da je siguran ako se svaki žeton nalazi na polju kojemu su sva susjedna polja prazna (dva polja smatraju se susjednima ako imaju zajedničku stranicu). Za koji najmanji prirodan broj $k$ postoji siguran raspored $k$ žetona takav da se na ploču ne može dodati nijedan žeton, a da raspored i dalje bude siguran?