Grade 10 2025

Nad jednom stranicom pravokutnika kao promjerom nacrtan je polukrug. Uniju toga pravokutnika i polukruga nazivamo prozorom. Poznato je da je opseg prozora 4 m. Odredi promjer polukruga tako da površina prozora bude najveća moguća.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - y} = z - 1 \\ \sqrt{y^{2} - z} = x - 1 \\ \sqrt{z^{2} - x} = y - 1. \end{array} \right.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Dan je raznostraničan trokut $ABC$. Neka je $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Okomica na pravac $CP$ u točki $P$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $X$ i $Y$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$ te $Y$ između $B$ i $C$. Pretpostavimo da vrijedi $|AX| \cdot |AC| = |BY| \cdot |BC|$. Dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Dana je ploča dimenzija $10 \times 10$. U gornjem lijevom polju ploče nalazi se muha. Muha se može kretati na dva načina – korakom i letom. Korak je pomak na polje neposredno ispod ili desno od polja na kojem se trenutno nalazi. Letom muha prelazi sa zadnjeg (krajnjeg desnog) polja na prvo (krajnje lijevo) polje u istom retku ili sa zadnjeg (donjeg) polja na prvo (gornje) polje u istom stupcu.

Koji je najmanji broj letova koje muha mora napraviti da bi posjetila svako polje ploče točno jednom?