Grade 11 2024

❏▤
Problem 2
CircumcircleGeometryTriangle

Neka su A1A_1, B1B_1 i C1C_1 točke na opisanoj kružnici šiljastokutnog trokuta ABCABC takve da su AA1‾\overline{AA_1}, BB1‾\overline{BB_1} i CC1‾\overline{CC_1} promjeri te kružnice. Dokaži da vrijedi ∣A1B∣⋅∣B1B∣+∣B1C∣⋅∣C1A∣=∣AC∣⋅∣BC∣.|A_1B| \cdot |B_1B| + |B_1C| \cdot |C_1A| = |AC| \cdot |BC|.

Problem 3
DiophantineNTPowers

Odredi sve uređene trojke prirodnih brojeva (a,b,c)(a, b, c) za koje je 2a+2b+2c+32^a + 2^b + 2^c + 3 kvadrat nekoga prirodnog broja.

Problem 4
AlgebraSumsTrigonometry

Dokaži da je zbroj cos⁡3∘cos⁡6∘−cos⁡2∘+cos⁡5∘cos⁡10∘−cos⁡2∘+⋯+cos⁡(2n+1)∘cos⁡(4n+2)∘−cos⁡2∘+⋯+cos⁡89∘cos⁡178∘−cos⁡2∘\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ - \cos 2^\circ} + \frac{\cos 5^\circ}{\cos 10^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos(2n + 1)^\circ}{\cos(4n + 2)^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ - \cos 2^\circ} jednak sin⁡2∘−14sin⁡1∘⋅sin⁡2∘.\frac{\sin 2^\circ - 1}{4 \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ}.

Problem 5
CombinatoricsConstruction

Na karticama su zapisani svi prirodni brojevi od 1 do 202422024^2. Zbroj svih tih brojeva iznosi 2024A2024A. Manuel je odabrao 20242024 kartice s brojevima čiji je zbroj jednak AA. Dokaži da Neva može preostale kartice rasporediti u 20232023 skupine tako da u svakoj skupini budu po 20242024 kartice i da zbroj brojeva na karticama u svakoj skupini bude jednak AA.