Grade 12 2026

Odredi sve nenegativne realne brojeve $x$ takve da su $\lfloor x \rfloor$, $\{x\}$ i $x$ uzastopni članovi aritmetičkog niza (ne nužno u tom poretku).

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Na primjer, $\lfloor 15.1 \rfloor = 15$ i $\{15.1\} = 0.1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da je broj $$\frac{6z^2 + 5z + 6}{3z^2 + 10z + 3}$$ realan. Dokaži da je $z$ realan broj ili da vrijedi $|z| = 1$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. Muha koja se u početku nalazi na jednoj od točaka kreće se isključivo skokovima u smjeru kazaljke na satu za $2$ ili $3$ mjesta. Koliko joj je najmanje skokova potrebno za obilazak svih točaka i povratak na početnu točku?

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da vrijedi:

• $\sqrt{a_k + 1}$ je prirodan broj za sve $k = 1, 2, \ldots, n$

• $\sqrt{a_k + 1}$ je djelitelj broja $a_{k+1}$ za sve $k = 1, 2, \ldots, n-1$

• $a_n - a_1 = 20$.

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$ i $|AC| > |BC|$. Neka je $k$ polukružnica s promjerom $\overline{AC}$ koja se nalazi s iste strane pravca $AC$ kao i točka $B$. Neka je $P$ točka na $k$ takva da je $|CP| = |CB|$ i neka je $Q$ točka na $\overline{AC}$ takva da je $|AP| = |AQ|$. Dokaži da polovište dužine $\overline{BQ}$ pripada polukružnici $k$.