Search

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$

Find all pairs $(a, b)$ of integers $a, b \geq 1$ that satisfy the equation

$$a^{b^2} = b^a.$$

Find all non-negative integer solutions of the equation $$2^x + 2009 = 3^y5^z.$$

Odredi sve četvorke prirodnih brojeva $(a, b, k, n)$ za koje vrijedi $$k \cdot 2^{2n} - (2k - 1) \cdot 2^n + k - 1 = k \cdot 2^{a + b} - 2^b.$$

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a.$$

Neka su $a, b, c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite nejednakost $$a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1.$$

Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav

$$2^{|x|} + |x| = x^2 + y + a$$

$$x^2 + y^2 = 1$$

ima točno jedno rješenje $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Odredi sve parove $(n, k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Odredi sve parove pozitivnih realnih brojeva $(x,y)$ koji su rješenja sustava jednadžba $$x^{x+y} = y^{180}$$ $$y^{x+y} = x^{45}.$$

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^{x^2 - 4x + 2} + \left(\sqrt{5} - 2\right)^{x^2 - 4x + 2} = 18.$$

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredi sve parove $(x, y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$\left\{ \begin{array}{l l} y^{x^2 - 7x + 12} & = 1 \\ x + y & = 6. \end{array} \right.$$

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Odredi sve realne brojeve $x, y$ za koje vrijede jednakosti $$x^{\log y} + \sqrt{y^{\log x}} = 110 \quad \text{i} \quad xy = 1000.$$

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Za koje realne brojeve $x$ vrijedi $$5^{2x} + 4^x < 29 \cdot 10^{x-1}?$$

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju

$$2 \cos^2 \left(\frac{x + 2y}{4}\right) = 2^x + 2^{-x}.$$

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Odredi sve uređene trojke $(x, y, p)$ gdje je $p$ prost, a $x$ i $y$ prirodni brojevi za koje vrijedi $$p^x - 1 = y^3.$$

Neka je $a = \sqrt[2015]{2015}$ i neka je $(a_n)$ niz takav da je $a_1 = a$ i $a_{n+1} = a^{a_n}$ za $n \geqslant 1$.

Postoji li prirodni broj $n$ takav da je $a_n \geqslant 2015$?

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$