Search

Trapez $ABCD$ s duljom osnovicom $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu $k$. Neka su $A_0$, $B_0$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$ na $AB$, a $G$ težište trokuta $ABC$. Kružnica $k_1$ prolazi točkama $A_0$ i $B_0$ te dodiruje kružnicu $k$ u točki $X$, različitoj od $C$. Dokaži da su točke $D$, $G$, $N$ i $X$ kolinearne.

Neka je $ABCD$ jednakokračni trapez s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$. Dijagonale trapeza sijeku se u točki $S$, a polovište stranice $\overline{AD}$ je točka $M$. Kružnica opisana trokutu $BCM$ ponovno siječe stranicu $\overline{AD}$ u točki $K$. Dokaži da su pravci $SK$ i $AB$ međusobno paralelni.

Two planes, $P$ and $Q$, intersect along the line $p$. The point $A$ is given in the plane $P$, and the point $C$ in the plane $Q$; neither of these points lies on the straight line $p$. Construct an isosceles trapezoid $ABCD$ (with $AB$ parallel to $CD$) in which a circle can be inscribed, and with vertices $B$ and $D$ lying in the planes $P$ and $Q$ respectively.

An isosceles trapezoid with bases $a$ and $c$ and altitude $h$ is given.

(a) On the axis of symmetry of this trapezoid, find all points $P$ such that both legs of the trapezoid subtend right angles at $P$.

(b) Calculate the distance of $P$ from either base.

(c) Determine under what conditions such points $P$ actually exist. (Discuss various cases that might arise.)

Neka su $a$ i $b$ duljine osnovica trapeza. Dokažite:

(a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je $\sqrt{\frac{a^2 + c^2}{2}}$ (kvadratna sredina).

(b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je $\frac{a + c}{2}$ (aritmetička sredina).

(c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je $\sqrt{ac}$ (geometrijska sredina).

(d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je $\frac{2}{\frac1a + \frac1c}$ (harmonijska sredina).

Duljina srednjice trapeza je $4$ a kutovi uz jednu osnovicu su $40°$ i $50°$. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka $1$.

U trapezu $ABCD$ zbroj duljina osnovica $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ jednak je duljini kraka $\overline{AD}$. Pravac paralelan osnovicama kroz sjecište dijagonala siječe krak $\overline{AD}$ u točki $E$. Dokaži da je $\measuredangle BEC = 90^{\circ}$.

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Dan je trapez $ABCD$ kojem su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti, a dijagonale su mu međusobno okomite i sijeku se u točki $O$. Polupravac $OA$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{BD}$ u točki $M$, a polupravac $OB$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{AC}$ u točki $N$.

Dokaži da točke $M$, $N$, $C$ i $D$ leže na jednoj kružnici.

Dan je trapez $ABCD$. Simetrala kraka $\overline{BC}$ siječe krak $\overline{AD}$ u točki $M$, a simetrala kraka $\overline{AD}$ siječe krak $\overline{BC}$ u točki $N$.

Neka su $O_1$ i $O_2$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ABN$ i $CDM$. Dokaži da pravac $O_1O_2$ prolazi polovištem dužine $\overline{MN}$.

Zadan je trapez $ABCD$ kojemu su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti. Simetrala dužine $\overline{AD}$ siječe pravac $BC$ u točki $P$, a simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe pravac $AD$ u točki $Q$. Dokaži da je $\measuredangle DPA = \measuredangle BQC$.

Trapez $ABCD$ s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ ima opisanu kružnicu $k$. Njegove dijagonale međusobno su okomite i sijeku se u točki $S$. Odredi omjer površine kruga omedenog kružnicom $k$ i zbroja površina trokuta $ABS$ i $CDS$.

Trapezu s krakovima duljina $4$ i $5$ može se upisati kružnica, a zbroj veličina kutova uz dulju osnovicu iznosi $120°$. Izračunaj površinu tog trapeza.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?