Grade 10 2019

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)$$

realni.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x + 2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}.$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $t$.
Na primjer, ako je $t = 3.14$, onda je $\lfloor t \rfloor = 3$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $3|BC| = |AB| + |CA|$. Neka je $T$ točka na stranici $\overline{AC}$ takva da je $4|AT| = |AC|$ i neka su $K$ i $L$ točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$ redom, takve da je $KL \parallel BC$ i da je pravac $KL$ tangenta upisane kružnice trokuta $ABC$.

U kojem omjeru dužina $\overline{BT}$ dijeli dužinu $\overline{KL}$?

Odredi sve parove $(m,n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $m^2 = n^5 + n^4 + 1$, a broj $m - 7n$ dijeli $m - 4n$.

Ukrug je napisano 299 nula i jedna jedinica. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

• svakom broju istovremeno oduzeti njemu oba susjedna broja;
• odabrati dva broja između kojih se nalaze točno dva broja te ih oba uvećati ili oba umanjiti za 1.

Može li se konačnim nizom dozvoljenih poteza postići da ukrug budu napisane

(a) dvije uzastopne jedinice i 298 nula?

(b) tri uzastopne jedinice i 297 nula?