Grade 11 2011

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$, u kojem je $M$ polovište katete $\overline{BC}$. Dokaži da je $\sin(\measuredangle MAB) \leqslant \dfrac{1}{3}$. Kada se postiže jednakost?

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu

$$x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1.$$

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $|AD| < |CD|$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\measuredangle APC$ pravi kut. Ako je $\measuredangle ABP = \measuredangle BCP$, odredi $|AD| : |CD|$.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i $k$ prirodan broj takav da vrijedi

$$ab + bc + ca \geqslant 3k^2 - 1.$$

Dokaži da je $\frac{1}{3}(a^3 + b^3 + c^3) \geqslant abc + 3k$.

Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.