Grade 12 2025

Dani su aritmetički niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i geometrijski niz $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takvi da su im svi članovi pozitivni realni brojevi i da vrijedi

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad \text{i} \quad a_{10} = b_3.$$

Dokaži da se svaki član niza $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ pojavljuje u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Za koje realne brojeve $a$ sustav

$$\left\{ \begin{array}{l} (1 + i) \cdot z + (1 - i) \cdot \bar{z} = 2a \\ |z + 1 - i| = \sqrt{2} \end{array} \right.$$

ima točno jedno rješenje u skupu kompleksnih brojeva?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$n \cdot 2^m + m = m \cdot 2^n + n.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.

Za neparni prirodan broj $n > 1$ na ploči su napisani brojevi $n, n+1, \ldots, 2n-1$. Dokaži da se s ploče može izbrisati jedan broj tako da zbroj preostalih brojeva na ploči ne bude djeljiv nijednim od preostalih brojeva na ploči.