Odredi najmanji prirodni broj kojem je zbroj znamenaka djeljiv sa $7$ te ima svojstvo da je zbroj znamenaka njegovog sljedbenika također djeljiv sa $7$.

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $P$ točka takva da je kut $\measuredangle ABP$ je pravi, da vrijedi $|BP| = |BC|$ te da su točke $P$ i $C$ su na suprotnim stranama pravca $AB$. Dokaži da je pravac $CP$ okomit na simetralu kuta $\measuredangle BAC$.

Dan je trokut $ABC$ površine $1$. Točka $D$ polovište je dužine $\overline{BC}$, točka $E$ polovište je dužine $\overline{AD}$, točka $F$ polovište je dužine $\overline{BE}$ te je točka $G$ polovište dužine $\overline{CF}$. Odredi površinu trokuta $EFG$.

Koliko ima peteroznamenkastih prirodnih brojeva kojima je umnožak znamenaka jednak $900$?

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$.

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$.

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$, a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$. Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$, $5$ i $7$?

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$, dok Markov broj pratitelja raste za $20$. Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?

Izračunaj $$2 \cdot \frac{2027^{3} + 2025^{3}}{2^{2} + 2027 \cdot 2025} - 4052 \cdot \frac{2027^{3} - 2025^{3}}{4052^{2} - 2027 \cdot 2025}.$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s katetama duljina $|AC| = 4$ i $|BC| = 3$. Neka je $D$ točka na hipotenuzi $\overline{AB}$ takva da trokuti $ADC$ i $BCD$ imaju jednake opsege. Koliko iznosi površina trokuta $BCD$?

Neka su $a, b, c$ i $d$ realni brojevi takvi da vrijedi $abcd \neq 0$ i da je $$a = b - c, \quad b = c - d, \quad c = d - a.$$

Odredi vrijednost izraza $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je broj $n^2 + 1$ djeljiv brojem $n + 13$.

Spremajući se za natjecanje iz matematike, Marta je u pet dana riješila ukupno $31$ zadatak. Svakog je dana riješila više zadataka nego prethodnog, a petog je dana riješila točno tri puta više zadataka nego prvog. Koliko je zadataka mogla riješiti četvrtog dana?

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 = b(b + 7)$.

U svako polje tablice $5 \times 5$ upisan je po jedan cijeli broj pri čemu se u pojedinom retku ili stupcu isti broj nalazi najviše tri puta. Razlika bilo koja dva broja u istom retku ili stupcu iznosi najviše $2$. U tablici se nalazi broj $0$, ali ne i broj $4$. Odredi najveći mogući zbroj svih brojeva u tablici.

Neka su $x$ i $y$ različiti realni brojevi takvi da je $2xy + 1 \neq 0$ i neka su $$A = \frac{6x^2y^2 + xy - 1}{2xy + 1} \quad \text{i} \quad B = \frac{x(x^2 - 1) - y(y^2 - 1)}{x - y}.$$

Odredi koji je broj veći, $A$ ili $B$.

Za prirodne brojeve $a$, $b$ i prost broj $p$ vrijedi $a^2 + p^2 = b^2$.

Dokaži da je $2(b + p)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi koliko ima šesteroznamenkastih prirodnih brojeva takvih da uklanjanjem prve dvije, odnosno zadnje dvije znamenke dobivamo dva četveroznamenkasta broja koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $99$.

Neka je $\overline{AC}$ promjer kružnice $k_1$ kojoj je središte u točki $B$. Kružnica $k_2$ dira pravac $AC$ u točki $B$ i kružnicu $k_1$ u točki $D$. Tangenta iz $A$ (različita od $AC$) na kružnicu $k_2$ dira tu kružnicu u točki $E$ i siječe pravac $BD$ u točki $F$. Odredi omjer $|AF| : |AB|$.

Za prirodni broj $n$ kažemo da je tablica s tri retka i $n$ stupaca čarobna ako postoji prirodni broj $k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, takav da se

• u prvom retku nalaze redom brojevi $1, 2, \ldots, n$,

• u drugom retku nalaze redom brojevi $k, k+1, \ldots, n, 1, 2, \ldots, k-1$,

• u trećem retku nalaze brojevi od $1$ do $n$ u takvom poretku da su zbrojevi triju brojeva u svakom stupcu međusobno jednaki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji čarobna tablica i za svaki takav $n$ odredi koliko ima čarobnih tablica.

Opseg pravokutnog trokuta iznosi $18$, a površina $9$. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta?

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

U trokutu $ABC$ kut kod vrha $A$ je dvostruko veći od kuta kod vrha $B$. Neka simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Dokaži da vrijedi $$|BC| = |AD| + |AC|.$$

Na koliko načina možemo obojati polja ploče $2 \times 2016$ u dvije boje tako da ne postoje tri polja iste boje koja se mogu istovremeno pokriti pločicom oblika kao na slici? Pločicu je dozvoljeno rotirati.

Izračunaj zbroj $$\frac{1}{2\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}.$$

Gargamel je uhvatio $N$ Štrumpfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumpfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumpfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumpfova u prvoj vreći se smanjila za $8$ milimetara, a prosječne visine Štrumpfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za $5$ milimetara i $8$ milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumpfova, odredi $N$.

Odredi sve troznamenkaste prirodne brojeve $n$ za koje brojevi $n$ i $n^2$ imaju jednake zadnje tri znamenke.

Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $\measuredangle BMA = \measuredangle NMC = 60°$. Odredi kut $\measuredangle MAN$.

Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija $9 \times 9$ na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija $1$. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj $k \in \{1, \ldots, 9\}$ i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija $1 \times k$ i $k \times 1$. Lovro će odabrati $k$ tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića.

Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.

Marko je nacrtao pravokutnik s dvije plave stranice duljine $24$ i dvije crvene stranice duljine $36$. Svaku točku unutar pravokutnika je obojio bojom stranice koja je najbliža toj točki. Točke koje su jednako udaljene od plave i crvene stranice je obojio crno. Odredi površinu crvenog dijela pravokutnika.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti pozitivni realni brojevi takvi da je $(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \neq 0$. Dokaži da barem jedan od brojeva

$$\frac{a + b}{a + b - c}, \quad \frac{b + c}{b + c - a}, \quad \frac{c + a}{c + a - b}$$

pripada intervalu $\langle 1,2\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Dano je $599$ žutih i $301$ plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od $2$ i od $5$?

Na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $P_1$, $P_2$ i $P_3$ tako da vrijedi

$$|AP_1| = |P_1P_2| = |P_2P_3| = |P_3B| = \frac{1}{4}|AB|.$$

Tim točkama povučene su paralele sa stranicom $\overline{BC}$, koje dijele trokut na četiri dijela. Površina dijela koji se nalazi između paralela kroz $P_2$ i $P_3$ iznosi $5$.

Kolika je površina trokuta $ABC$?

Dokaži da ne postoje pozitivni realni brojevi $x$ i $y$ za koje vrijedi

$$(x^3 + y^3)(x^2 + y^2) = 2(x + y) = 2.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n > 2$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da je

$$n = a^3 + d^3,$$

pri čemu je $a$ najmanji djelitelj broja $n$ veći od $1$.

Osnovica $\overline{BC}$ je najdulja stranica jednakokračnog trokuta $ABC$. Neka je $M$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $|BM| = |AB|$. Nožište okomice iz točke $M$ na $\overline{AB}$ je točka $N$. Dokaži da trokut $BMN$ i četverokut $ACMN$ imaju jednake površine i jednake opsege.

Na stolu su $42$ kamenčića. Dva igrača naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu igrač treba uzeti najmanje jedan kamenčić, ali ne više od polovine preostalih kamenčića. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza na stolu ostane samo jedan kamenčić.

Koji igrač sigurno može pobijediti?

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Neka su $x$, $y$ i $z$ različiti realni brojevi od kojih nijedan nije jednak nuli, takvi da vrijedi

$$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}.$$

Odredi vrijednost izraza $x^2 y^2 z^2$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Koliko najmanje brojeva treba ukloniti iz skupa $\{1,2,3,\ldots,2020\}$ tako da nastali skup ne sadrži umnožak svojih dvaju različitih elemenata?

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$m(m - n)^2(m + n) = m^4 + mn^3 - 99n.$$

Izabela je sedam dana zaredom rješavala po jedan matematički test. Na svakom je testu ostvarila različit broj bodova – najmanje 91, a najviše 100. Nakon svakog testa prosjek njenih dotadašnjih rezultata bio je prirodan broj, a na sedmom testu je ostvarila 95 bodova.

Koliko je ukupno bodova Izabela ostvarila na svih sedam testova? Koliko je bodova ostvarila na šestom testu?