Search

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $OT \perp AT$. Neka je $A'$ drugo sjecište pravca $AT$ i kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $BA'$ i $AC$, a točka $E$ sjecište pravaca $CA'$ i $AB$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ADE$ leži na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Neka je $T$ težište raznostraničnog trokuta $ABC$. Označimo sa $A_1, B_1, C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, a sa $A_2, B_2, C_2$ polovišta dužina $\overline{AT}$, $\overline{BT}$ i $\overline{CT}$ redom. Dokaži da se kružnice opisane trokutima $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_2$ i $A_2B_2C_1$ sijeku u jednoj točki.

Consider a plane $\varepsilon$ and three non-collinear points $A, B, C$ on the same side of $\varepsilon$; suppose the plane determined by these three points is not parallel to $\varepsilon$. In plane $\varepsilon$ take three arbitrary points $A', B', C'$. Let $L, M, N$ be the midpoints of segments $AA', BB', CC'$; let $G$ be the centroid of triangle $LMN$. (We will not consider positions of the points $A', B', C'$ such that the points $L, M, N$ do not form a triangle.) What is the locus of point $G$ as $A', B', C'$ range independently over the plane $\varepsilon$?

In tetrahedron $ABCD$, vertex $D$ is connected with $D_0$ the centroid of $\triangle ABC$. Lines parallel to $DD_0$ are drawn through $A, B$ and $C$. These lines intersect the planes $BCD, CAD$ and $ABD$ in points $A_1, B_1$ and $C_1$, respectively. Prove that the volume of $ABCD$ is one third the volume of $A_1B_1C_1D_0$. Is the result true if point $D_0$ is selected anywhere within $\triangle ABC$?

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB < AC$, and let $D$ be the foot of its altitude from $A$. Let $R$ and $Q$ be the centroids of the triangles $ABD$ and $ACD$, respectively. Let $P$ be a point on the line segment $BC$ such that $P \neq D$ and the points $P, Q, R$ and $D$ are concyclic. Prove that the lines $AP, BQ$ and $CR$ are concurrent.

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$|BC|^2 + |AC|^2 = 5|AB|^2.$$

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

U pravokutnom trokutu $ABC$ stranica $AB$ je hipotenuza, a težišnice $AA'$ i $BB'$ se sijeku u težištu $T$. Dokažite da je $\cos \angle ATB' \ge \dfrac{4}{5}$ i da jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakokračan.

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$. Nasuprotni bridovi su duljina $m$, $n$ i $p$. Dokažite da udaljenost vrha piramide od težišta osnovke iznosi $$\frac{1}{3}\sqrt{3(m^2 + n^2 + p^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s težištem $T$. Neka je $\overline{CN}$ njegova visina, $\overline{CP}$ težišnica i $K$ polovište te težišnice. Simetrala dužine $\overline{PC}$ siječe pravac $AB$ u točki $L$. Kružnica opisana trokutu $LNT$ siječe pravac $PC$ u točkama $T$ i $M$. Dokaži da pravac $AK$ raspolavlja dužinu $\overline{BM}$.