Search

A soldier needs to check on the presence of mines in a region having the shape of an equilateral triangle. The radius of action of his detector is equal to half the altitude of the triangle. The soldier leaves from one vertex of the triangle. What path should he follow in order to travel the least possible distance and still accomplish his mission?

Equilateral triangles $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ are constructed inside the square $ABCD$. Prove that the midpoints of the four segments $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ and the midpoints of the eight segments $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$ are the twelve vertices of a regular dodecagon.

Let $ABC$ be an equilateral triangle and $\mathcal{E}$ the set of all points contained in the three segments $AB$, $BC$ and $CA$ (including $A$, $B$ and $C$). Determine whether, for every partition of $\mathcal{E}$ into two disjoint subsets, at least one of the two subsets contains the vertices of a right-angled triangle. Justify your answer.

A triangle $A_{1}A_{2}A_{3}$ and a point $P_{0}$ are given in the plane. We define $A_{s} = A_{s-3}$ for all $s \geq 4$. We construct a set of points $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots$, such that $P_{k+1}$ is the image of $P_{k}$ under a rotation with center $A_{k+1}$ through angle $120^{\circ}$ clockwise (for $k = 0, 1, 2, \ldots$). Prove that if $P_{1986} = P_{0}$, then the triangle $A_{1}A_{2}A_{3}$ is equilateral.

Six points are chosen on the sides of an equilateral triangle $ABC$: $A_1$, $A_2$ on $BC$, $B_1$, $B_2$ on $CA$ and $C_1$, $C_2$ on $AB$, such that they are the vertices of a convex hexagon $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ with equal side lengths.

Prove that the lines $A_1B_2$, $B_1C_2$ and $C_1A_2$ are concurrent.

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Let $A_1, B_1, C_1$ be interior points of $ABC$ such that $BA_1 = A_1C$, $CB_1 = B_1A$, $AC_1 = C_1B$, and

$$\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480°.$$

Let $BC_1$ and $CB_1$ meet at $A_2$, let $CA_1$ and $AC_1$ meet at $B_2$, and let $AB_1$ and $BA_1$ meet at $C_2$. Prove that if triangle $A_1B_1C_1$ is scalene, then the three circumcircles of triangles $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ and $CC_1C_2$ all pass through two common points.

(Note: a scalene triangle is one where no two sides have equal length.)

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

Izvan pravilnog mnogokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se točka $B$ takva da je trokut $A_1A_2B$ jednakostraničan. Odredi sve $n$ za koje su točke $B$, $A_2$ i $A_3$ uzastopni vrhovi nekog pravilnog mnogokuta.

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ($|AB| = |AC|$) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Ako je $\measuredangle DBC = 30°$, dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

U kvadrat $ABCD$ upisan je jednakostranični trokut $CEF$ tako da se točka $E$ nalazi na stranici $\overline{AD}$, a točka $F$ na stranici $\overline{AB}$. Neka je $G$ polovište dužine $\overline{CE}$. Dokaži da je trokut $ABG$ jednakostraničan.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu $ABC$ su dane visine $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$, $\overline{CC_1}$, pri čemu je $$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \vec{0}.$$ Dokažite da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Neka je $ABC$ jednakostranični trokut sa stranicama duljine $1$. Točka $X$ na polupravcu $AB$ i točka $Y$ na polupravcu $AC$ odabrane su tako da su $|AX|$ i $|AY|$ prirodni brojevi. Može li polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ biti $\sqrt{2014}$?

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$, različito od $A$. Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$. Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $\overline{AD}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$, a pritom je $\measuredangle BAD = 20°$ i $|DE| = |AB|$. Odredi $\measuredangle ADB$.

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Pravac koji prolazi točkom $Q$ siječe kružnice $k_1$ i $k_2$ još u točkama $R$ i $S$, redom. Pravac $SP$ siječe kružnicu $k_1$ još u točki $M$, a pravac $RP$ siječe kružnicu $k_2$ još u točki $N$. Neka je $T$ sjecište pravaca $RM$ i $SN$.

Dokaži da je trokut $TMN$ jednakostraničan ako i samo ako je pravac $MN$ zajednička tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$.