Search

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$

Neka je $a$ pozitivan realan broj, a $x_1, x_2, x_3$ realni brojevi takvi da je $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. Dokažite nejednakost $$\log_2(1 + a^{x_1}) + \log_2(1 + a^{x_2}) + \log_2(1 + a^{x_3}) \geq 3.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi veći od $1$. Dokažite sljedeću nejednakost $$\log_a \left(\frac{b^2}{ac} - b + ac\right) \log_b \left(\frac{c^2}{ab} - c + ab\right) \log_c \left(\frac{a^2}{bc} - a + bc\right) \geq 1.$$

Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_a bc)^r + (\log_b ca)^r + (\log_c ab)^r \geq 3 \cdot 2^r.$$

Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\left\lfloor \log_2 n \right\rfloor + \left\lfloor \log_3 n \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \log_n n \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[3]{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \sqrt[n]{n} \right\rfloor.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\log_2(4^x + 2^x) + \log_{(4^x + 2^x)}2 = 2.$$

Postoje li prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da su $$\log_a (bc + 1), \quad \log_b (ca + 1) \quad \mathrm{i} \quad \log_c (ab + 1)$$ također prirodni brojevi?

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$\log_2 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_8 x + \cdots + \log_{2^{2019}} x \cdot \log_{2^{2020}} x = \frac{2019}{2020}.$$

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Odredi sva realna rješenja nejednadžbe $$\log_9 x^2 - \log_3 (x + 8) \leqslant \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je vrijednost izraza $$\frac{n^2 - 22 + \log_2 n}{n - 5}$$ cijeli broj.

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$

Odredi sve realne brojeve $x, y$ za koje vrijede jednakosti $$x^{\log y} + \sqrt{y^{\log x}} = 110 \quad \text{i} \quad xy = 1000.$$

Riješi sustav jednadžbi $$\frac {\log_ {2} x}{\log_ {x} 2} - \log_ {2} y ^ {2} = 3, \quad \frac {\log_ {2} y}{\log_ {y} 2} - \log_ {2} x ^ {2} = 3.$$