Search

Dokaži da ne postoji beskonačni niz prostih brojeva $p_0, p_1, p_2, \ldots$ takav da za svaki prirodni broj $k$ vrijedi

$$p_k = 2p_{k-1} + 1 \quad \text{ili} \quad p_k = 2p_{k-1} - 1.$$

Dokaži da ne postoje prosti broj $p$ i prirodni brojevi $a$ i $n$ ($n \geqslant 2$) takvi da vrijedi

$$2^p + 3^p = a^n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p - 1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p - 3$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dani su prirodan broj $m$ i prost broj $p$ takvi da je $p > m$. Dokaži da broj prirodnih brojeva $n$ za koje je $$m^2 + n^2 + p^2 - 2mn - 2mp - 2np$$ kvadrat nekog prirodnog broja ne ovisi o broju $p$.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Za svaki prost broj $p$ negdje u svemiru postoji planet $\mathcal{P}_p$ u čijem se oceanu nalazi točno $p$ otoka, $O_1, O_2, \ldots, O_p$. Između otoka $O_m$ i $O_n$ (za $m \neq n$) postoji most ako i samo ako je broj $(m^2 - n + 1)(n^2 - m + 1)$ djeljiv s $p$. S mosta nije moguće prijeći direktno na drugi most već samo na otok.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva $p$ za koje na planetu $\mathcal{P}_p$ nije moguće sa svakog otoka doći na svaki drugi krećući se samo po otocima i mostovima.

Funkcija $U: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definira se na sljedeći način: $$U(n) = \begin{cases} 1, & \text{za } n = 1, \\ \alpha_1^{p_1} \cdots \alpha_k^{p_k}, & \text{za } n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}, \text{gdje su } p_1, \ldots, p_k \text{ međusobno različiti prosti brojevi i } \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{N}. \end{cases}$$

Za $m \in \mathbb{N}$ neka je $U^{(m)}(n) = U(U(\ldots U(n)\ldots))$, pri čemu se $U$ primjenjuje $m$ puta.

Dokaži da za svaki prirodni broj $A$ postoji prirodni broj $B$ takav da je $U^{(m)}(A) = B$ za beskonačno mnogo prirodnih brojeva $m$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost, $m < n$, sa svojstvom da postoje prirodni brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ koji nisu djeljivi s $p$ takvi da vrijedi

$$\begin{aligned} ab + cd &= p^m, \\ ac + bd &= p^n. \end{aligned}$$

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva dijeli umnožak svih zbrojeva međusobno različitih parova prostih brojeva koji nisu veći od $n$, tj. za koje vrijedi

$$n! \mid \prod_{\substack{p < q \leqslant n \\ p, q \text{ prosti}}} (p + q).$$

Za $2024$-člani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je skladan ako umnožak bilo kojih $100$ njegovih elemenata dijeli umnožak preostalih $1924$ elemenata.

Koliko najviše prostih brojeva može biti u skladnom skupu?

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m,n,p)$ takve da je $p$ prost i da vrijedi

$$n(n + 1)(n + p)(n + p + 1)p^6m^2 = (4n + 3)^6(p + 1)^2(p - 4)^2.$$

Niz prirodnih brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ u kojem je $a_1 > 1$ zadovoljava relaciju

$$a_{n+1} = a_n + p^n \quad \text{za } n \in \mathbb{N},$$

pri čemu je $p = 2$ ako je $a_n$ potencija broja $2$, a inače je $p$ najmanji neparan prosti djelitelj broja $a_n$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo parova prirodnih brojeva $(m,n)$ uz $m \neq n$ takvih da $a_m$ dijeli $a_n$.

Let $k, m, n$ be natural numbers such that $m + k + 1$ is a prime greater than $n + 1$. Let $c_s = s(s + 1)$. Prove that the product $$(c_{m+1} - c_k)(c_{m+2} - c_k) \cdots (c_{m+n} - c_k)$$ is divisible by the product $c_1c_2\cdots c_n$.

Prove that there are infinitely many natural numbers $a$ with the following property: the number $z = n^4 + a$ is not prime for any natural number $n$.

Let $n$ be a given integer $> 2$, and let $V_n$ be the set of integers $1 + kn$, where $k = 1, 2, \ldots$. A number $m \in V_n$ is called indecomposable in $V_n$ if there do not exist numbers $p, q \in V_n$ such that $pq = m$. Prove that there exists a number $r \in V_n$ that can be expressed as the product of elements indecomposable in $V_n$ in more than one way. (Products which differ only in the order of their factors will be considered the same.)

Given a set $M$ of 1985 distinct positive integers, none of which has a prime divisor greater than 26. Prove that $M$ contains at least one subset of four distinct elements whose product is the fourth power of an integer.

Let $n$ be an integer greater than or equal to 2. Prove that if $k^2 + k + n$ is prime for all integers $k$ such that $0 \leq k \leq \sqrt{n/3}$, then $k^2 + k + n$ is prime for all integers $k$ such that $0 \leq k \leq n - 2$.

Prove that for each positive integer $n$ there exist $n$ consecutive positive integers none of which is an integral power of a prime number.

Given an initial integer $n_0 > 1$, two players, $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$, choose integers $n_1, n_2, n_3, \ldots$ alternately according to the following rules:

Knowing $n_{2k}$, $\mathcal{A}$ chooses any integer $n_{2k+1}$ such that

$$n_{2k} \leq n_{2k+1} \leq n_{2k}^2.$$

Knowing $n_{2k+1}$, $\mathcal{B}$ chooses any integer $n_{2k+2}$ such that

$$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$$

is a prime raised to a positive integer power.

Player $\mathcal{A}$ wins the game by choosing the number 1990; player $\mathcal{B}$ wins by choosing the number 1. For which $n_0$ does:

(a) $\mathcal{A}$ have a winning strategy?

(b) $\mathcal{B}$ have a winning strategy?

(c) Neither player have a winning strategy?

Let $n > 6$ be an integer and $a_1, a_2, \ldots, a_k$ be all the natural numbers less than $n$ and relatively prime to $n$. If

$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \cdots = a_k - a_{k-1} > 0,$$

prove that $n$ must be either a prime number or a power of 2.

Show that there exists a set $A$ of positive integers with the following property: For any infinite set $S$ of primes there exist two positive integers $m \in A$ and $n \notin A$ each of which is a product of $k$ distinct elements of $S$ for some $k \geq 2$.

Let $p$ be an odd prime number. How many $p$-element subsets $A$ of $\{1, 2, \ldots, 2p\}$ are there, the sum of whose elements is divisible by $p$?

Determine all pairs $(n,p)$ of positive integers such that

$p$ is a prime,

$n$ not exceeded $2p$, and

$(p-1)^n + 1$ is divisible by $n^{p-1}$.

Can we find $N$ divisible by just 2000 different primes, so that $N$ divides $2^N + 1$? [$N$ may be divisible by a prime power.]

Let $a, b, c, d$ be integers with $a > b > c > d > 0$. Suppose that

$$ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c).$$

Prove that $ab + cd$ is not prime.

Show that for each prime $p$, there exists a prime $q$ such that $n^p - p$ is not divisible by $q$ for any positive integer $n$.

Prove that there exist infinitely many positive integers $n$ such that $n^2 + 1$ has a prime divisor which is greater than $2n + \sqrt{2n}$.

A set of positive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let $P(n) = n^2 + n + 1$. What is the least possible value of the positive integer $b$ such that there exists a non-negative integer $a$ for which the set $$\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}$$ is fragrant?

Let $k$ be a positive integer and let $S$ be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and reflection) to place the elements of $S$ around a circle such that the product of any two neighbours is of the form $x^2 + x + k$ for some positive integer $x$.

Find all triples $(a, b, p)$ of positive integers with $p$ prime and

$$a^p = b! + p.$$

Let $a_1, a_2, a_3, \ldots$ be the sequence of positive integers such that $$a_1 = 1 \quad \text{and} \quad a_{k+1} = a_k^3 + 1, \text{ for all positive integers } k.$$

Prove that for every prime number $p$ of the form $3\ell + 2$, where $\ell$ is a non-negative integer, there exists a positive integer $n$ such that $a_n$ is divisible by $p$.

Find all pairs $(n,p)$ of positive integers such that $p$ is prime and

$$1 + 2 + \cdots + n = 3 \cdot (1^2 + 2^2 + \cdots + p^2).$$

Dokažite da je izraz $$a^4 - 10a^2 + 9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Dokažite da trokut čije su duljine stranica prosti brojevi ne može imati cjelobrojnu površinu.

Dani su prosti broj $p$ i prirodni broj $n \geqslant p-1$. Ako je broj $np+1$ kvadrat nekog prirodnog broja, dokaži da je broj $n+1$ zbroj kvadrata nekih $p$ prirodnih brojeva.

Odredi sve trojke $(p,q,r)$ prostih brojeva za koje vrijedi $pq + r = 1 + rp + qr$.

Duljine kateta pravokutnog trokuta su $a$ i $b$, a duljina njegove hipotenuze je $c$. Ako su sve tri duljine prirodni brojevi, te $a$ k tome neparan prost broj, dokaži da je broj $2(a + b + 1)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Za prirodne brojeve $a$, $b$ i prost broj $p$ vrijedi $a^2 + p^2 = b^2$.

Dokaži da je $2(b + p)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Marijan je na ploču napisao niz od $n$ prostih brojeva tako da je svaki sljedeći broj za $6$ veći od prethodnog.

Dokaži da postoji najveći prirodan broj $n$ za koji je to moguće. Koji je to najveći $n$ i koje je sve nizove Marijan mogao napisati na ploču za taj najveći $n$?

Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način: $p_1 = 2$ i za $n \geq 2$, $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$. Dokažite da je $p_n \neq 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$p^m - n^3 = 8.$$