Grade 11 1997

Neka su $x, y, z, a, b, c$ cijeli brojevi za koje vrijedi: $$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} &= a^{2}, \\ x^{2} + z^{2} &= b^{2}, \\ y^{2} + z^{2} &= c^{2}. \end{aligned}$$

Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s

(a) $5$,

(b) $55$.

Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^{2}x| + \cdots + |\cos 2^{n}x| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}}.$$

Neka su u tetraedru $ABCD$ površine strana $ABD$, $ACD$, $BCD$ i $BCA$ redom jednake $S_{1}$, $S_{2}$, $Q_{1}$, $Q_{2}$, a prostorni kut između strana $ABD$ i $ACD$ jednak $\alpha$, odnosno $\beta$ između $BCD$ i $BCA$. Dokažite da je $$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2S_{1}S_{2}\cos\alpha = Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} - 2Q_{1}Q_{2}\cos\beta.$$

Nad stranicama trokuta $ABC$ konstruirani su slični trokuti $ABD$, $BCE$, $CAF$ ($k = |AD| : |DB| = |BE| : |EC| = |CF| : |FA|$; $\alpha = \measuredangle ADB = \measuredangle BEC = \measuredangle CFA$). Dokažite da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{EF}$ vrhovi paralelograma, čiji je jedan kut jednak $\alpha$, a omjer duljina odgovarajućih stranica $k$.