Croatian Mathematical Olympiad 2020

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1.$$

Ako je $a$ najmanji, a $b$ najveći broj među brojevima $x_1, x_2, \ldots, x_n$, dokaži da je $ab \leq -\dfrac{1}{n}$.

Ante je zapisao niz $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ u kojem se svaki od brojeva $1, 2, \ldots, 2020$ pojavljuje točno jednom. Barbara želi saznati taj niz, a Ante joj daje informacije kroz niz razmjena.

U jednoj razmjeni Barbara na papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te neke od njih spoji crtom i to tako da je svaki broj spojen s najviše jednim drugim i preda taj papir Anti. Ante zatim na drugi papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te za svaki par brojeva $i$ i $j$ koje je Barbara spojila crtom, on spoji crtom brojeve $a_i$ i $a_j$, te na kraju preda taj papir Barbari.

Koliko je najmanje razmjena potrebno da Barbara može sa sigurnošću odrediti Antin niz?

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| < |AC|$. Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, redom su dane točke $P$ i $Q$ takve da su pravci $AQ$ i $CP$ okomiti, a kružnica upisana trokutu $ABC$ dira dužinu $\overline{PQ}$. Pravac $CP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $C$ i $T$.

Ako se pravci $CA$, $PQ$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, dokaži da je kut $\measuredangle CAB$ pravi.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(x + yf(x)) = f(xf(y)) - x + f(y + f(x)).$$

Dano je $n$ cigli od kojih svaka ima masu barem $1$. Ukupna masa svih $n$ cigli je $2n$.

Dokaži da za svaki realni broj $r \in [0, 2n-2]$ možemo odabrati neke od tih cigli čija je ukupna masa u intervalu $[r, r+2]$.

Dana je kružnica promjera $\overline{AB}$. Na toj kružnici, s različitih strana pravca $AB$, nalaze se točke $C$ i $D$ takve da vrijedi $|AC| < |BC|$ i $|AC| < |AD|$. Točka $P$ pripada dužini $\overline{BC}$ te vrijedi $\measuredangle CAP = \measuredangle ABC$. Okomica iz točke $C$ na pravac $AB$ siječe pravac $BD$ u točki $Q$. Pravci $PQ$ i $AD$ sijeku se u točki $R$, a pravci $PQ$ i $CD$ u točki $T$.

Ako je $|AR| = |RQ|$, dokaži da su pravci $AT$ i $PQ$ međusobno okomiti.

Skup $A \subset \mathbb{N}$ zovemo neprijateljskim ako za svaki par $(a,b)$ brojeva iz $A$ postoji $k \in \mathbb{N}_0$ takav da je $M(a,b) = 2^k$. Postoji li beskonačan skup $S \subset \mathbb{N}$ sa svojstvom da je skup svih mogućih zbrojeva dvaju različitih elemenata skupa $S$ neprijateljski skup?

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj i neka je $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ strogo rastući niz realnih brojeva takav da je $\sum_{k=1}^n a_k = 2$. Neka je $M$ neki podskup skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ za koji je vrijednost izraza $\left|1 - \sum_{k \in M} a_k\right|$ najmanja moguća.

Dokaži da postoji strogo rastući niz realnih brojeva $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ takav da je $\sum_{k=1}^n b_k = 2$, za koji vrijedi $\sum_{k \in M} b_k = 1$.

Splet je konačan skup pravaca u općem položaju (tj. svaka dva pravca se sijeku, ali nikoja tri ne prolaze istom točkom). Pravci spleta dijele ravninu na područja čije su stranice dužine ili polupravci. Labirint je splet u kojem je svaki pravac obojan, poput zida, s jedne strane crvenom, a s druge strane plavom bojom. Dva područja sa zajedničkim vrhom koja u toj točki imaju i crvene i plave stranice nazivamo povezanima. Po labirintu se kreću mravi koji mogu prijeći iz područja u kojem se nalaze samo u područje koje je s njim povezano. Za splet $S$ definiramo $k(S)$ kao najveći broj mrava koje je moguće razmjestiti po svakom labirintu na $S$ tako da se nikoja dva mrava ne mogu sastati krećući se po labirintu.

Za $n \in \mathbb{N}$, odredi sve moguće vrijednosti $k(S)$ pri čemu je $S$ splet od $n$ pravaca.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Neka su $k_B$ i $k_C$ kružnice upisane trokutima $BDF$ i $CDE$, redom. Kružnica $k_B$ dodiruje dužinu $\overline{DF}$ u točki $M$, a kružnica $k_C$ dužinu $\overline{DE}$ u točki $N$. Pravac $MN$ siječe kružnicu $k_B$ u točkama $M$ i $P$, a kružnicu $k_C$ u točkama $N$ i $Q$.

Dokaži da je $|MP| = |NQ|$.

Dan je prirodni broj $C$. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sa sljedećim svojstvom:

za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $a + b > C$, vrijedi $a + f(b) \mid a^2 + bf(a)$.

Odredi sve periodične nizove $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva sa svojstvom da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}} + x_n\right).$$

Dan je jednakostraničan trokut na čijoj se svakoj stranici označeno po $9$ točaka koje dijele tu stranicu na $10$ sukladnih dijelova. Te su točke spojene s ukupno $27$ dužina paralelnih stranicama trokuta. Na taj način trokut je podijeljen na $100$ malih jednakostraničnih trokuta. Područje između dvije susjedne paralelne dužine nazivamo prugom.

Koliko najviše malih trokuta možemo odabrati tako da unutar nijedne pruge ne budu dva odabrana trokuta?

Neka je $ABC$ trokut. Kružnica $k$ prolazi točkom $A$, siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$ i $E$ (različitim od $A$), a stranicu $\overline{BC}$ u točkama $F$ i $G$ i pritom je $F$ između $B$ i $G$. Tangenta opisane kružnice trokuta $BDF$ u točki $F$ i tangenta opisane kružnice trokuta $CEG$ u točki $G$ sijeku se u točki $T$, različitoj od $A$.

Dokaži da su pravci $AT$ i $BC$ međusobno paralelni.

Funkcija $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ je pseudopolinom ako za svaka dva različita broja $a, b \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $$a - b \mid f(a) - f(b).$$

Odredi sve pseudopolinome takve da za svaki $n \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $f(n) \leq n\sqrt{n}$.