Croatian Mathematical Olympiad 2021

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $ab + bc + ca = 1$.

Dokaži da je $$\frac{4}{a + b + c} \leq (a + b)(c\sqrt{3} + 1).$$

Na svakom polju ploče dimenzija $n \times n$ nalazi se po jedna žarulja. Na početku su neke žarulje upaljene, a neke ugašene. U svakom koraku biramo kvadrat $2 \times 2$ ili $3 \times 3$ te svim žaruljama u tom kvadratu promijenimo stanje (upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo).

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoji raspored žarulja koje ne možemo sve ugasiti konačnim nizom takvih koraka.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut u kojem je $\measuredangle B > 90°$, $\measuredangle D > 90°$ te $\measuredangle A = \measuredangle C$. Neka su $E$ i $F$ redom točke osnosimetrične točki $A$ u odnosu na pravce $BC$ i $CD$. Neka dužine $\overline{AE}$ i $\overline{AF}$ sijeku pravac $BD$ redom u točkama $K$ i $L$.

Dokaži da se kružnice opisane trokutima $BKE$ i $FLD$ diraju.

Za svaki prost broj $p$ negdje u svemiru postoji planet $\mathcal{P}_p$ u čijem se oceanu nalazi točno $p$ otoka, $O_1, O_2, \ldots, O_p$. Između otoka $O_m$ i $O_n$ (za $m \neq n$) postoji most ako i samo ako je broj $(m^2 - n + 1)(n^2 - m + 1)$ djeljiv s $p$. S mosta nije moguće prijeći direktno na drugi most već samo na otok.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva $p$ za koje na planetu $\mathcal{P}_p$ nije moguće sa svakog otoka doći na svaki drugi krećući se samo po otocima i mostovima.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da izraz $$P(x + 3y) + P(3x - y)$$ ima istu vrijednost za sve realne brojeve $x$, $y$ za koje je $x^2 + y^2 = 1$.

Pravilni mnogokut $\mathcal{P}$ ima $100$ vrhova od kojih je $41$ crne, a preostalih $59$ bijele boje.

Dokaži da postoje $24$ međusobno disjunktna konveksna četverokuta čiji su vrhovi vrhovi od $\mathcal{P}$ te svaki od njih ima neparan broj crnih vrhova.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| = |BC|$ i točka $D$ na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AD| < |BD|$. Točke $P$ i $Q$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$. Simetrala dužine $\overline{PQ}$ siječe $\overline{CP}$ u točki $E$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $PQC$ sijeku se u točkama $C$ i $F$.

Ako su točke $E$, $F$ i $Q$ kolinearne, dokaži da je $\measuredangle ACB$ pravi kut.

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^5 + a^4 = 7^b - 1.$$

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje postoji funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takva da je $$f(x + f(y)) = f(x) + a\lfloor y\rfloor,$$ za sve realne brojeve $x$ i $y$.

Napomena: $\lfloor y\rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $y$. Npr. $\lfloor 1.7\rfloor = 1$, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$, $\lfloor 0\rfloor = 0$.

Neka je $N$ prirodan broj i neka je $S = \{1, 2, \ldots, N\}$. Neka su $a_{i,j}$ međusobno različiti realni brojevi takvi da za sve $i, j \in S$ vrijedi: ako je $i < j$, onda je $$a_{i,k} < a_{j,k} \quad \text{i} \quad a_{k,i} < a_{k,j}, \quad \text{za sve} \quad k \in S.$$

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $2(n-1)^2 < N$. Dokaži da postoje $n$-člani podskupovi $I, J \subset S$ takvi da vrijedi jedna od sljedeće dvije tvrdnje:

• za sve $i, k \in I$ vrijedi: ako je $i < k$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $j, l \in J$,

• za sve $j, l \in J$ vrijedi: ako je $j < l$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $i, k \in I$.

Dan je konveksan četverokut $ABCD$ čije se dijagonale sijeku u točki $P$. Neka su $X$ i $Y$ točke odabrane tako da četverokuti $ABPX$, $CDXP$, $BCPY$ i $DAYP$ budu tetivni. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $Q$, pravci $BC$ i $DA$ u točki $R$, a pravci $XR$ i $YQ$ u točki $Z$. Dokaži da točke $X$, $Y$, $Z$ i $P$ pripadaju istoj kružnici.

Funkcija $U: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definira se na sljedeći način: $$U(n) = \begin{cases} 1, & \text{za } n = 1, \\ \alpha_1^{p_1} \cdots \alpha_k^{p_k}, & \text{za } n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}, \text{gdje su } p_1, \ldots, p_k \text{ međusobno različiti prosti brojevi i } \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{N}. \end{cases}$$

Za $m \in \mathbb{N}$ neka je $U^{(m)}(n) = U(U(\ldots U(n)\ldots))$, pri čemu se $U$ primjenjuje $m$ puta.

Dokaži da za svaki prirodni broj $A$ postoji prirodni broj $B$ takav da je $U^{(m)}(A) = B$ za beskonačno mnogo prirodnih brojeva $m$.

Neka je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funkcija sa svojstvima:

(a) Postoji realan broj $M$ takav da je $|f(x)| \leq M$, za sve $x \in \mathbb{R}$.

(b) Za svaki realan broj $x$ vrijedi $$f\left(x + \frac{1}{2}\right) + f\left(x + \frac{1}{3}\right) = f(x) + f\left(x + \frac{5}{6}\right).$$

Pokaži da je funkcija $f$ periodična, odnosno da postoji pozitivan realan broj $T$ takav da je $f(x + T) = f(x)$ za sve $x \in \mathbb{R}$.

Za permutaciju $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ kažemo da je uravnotežena ako vrijedi $$a_1 \leq 2a_2 \leq \ldots \leq na_n.$$

Neka $S(n)$ označava broj uravnoteženih permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$.

Odredi $S(20)$ i $S(21)$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut čije se dijagonale sijeku u točki $E$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Neka je $X$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EBC$ i $EDA$ različito od $E$, a $Y$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EAB$ i $ECD$ različito od $E$. Konačno, neka je $W$ sjecište kružnica opisanih trokutima $PBC$ i $PDA$ različito od $P$. Dokaži da su trokuti $WQY$ i $WXP$ slični.

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$, a $s(n)$ zbroj svih pozitivnih djelitelja broja $n$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $$4s(n) = 3d(n)^2 + 1.$$