Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$a^2 + b^2 + |ab - 1| + |ab - 4|$$

za neke realne brojeve $a$ i $b$.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $\measuredangle BAC = 45°$, $|AB| = 4$, $|AC| = 3\sqrt{2}$. Neka su $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ visine tog trokuta. Okomica na $\overline{AB}$ kroz točku $E$ siječe dužinu $\overline{AD}$ u točki $P$.

Odredi $|EP|$.

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$abc = -1, \quad a + b + c = 4 \quad \text{i}$$

$$\frac{a}{a^2 - 3a - 1} + \frac{b}{b^2 - 3b - 1} + \frac{c}{c^2 - 3c - 1} = \frac{4}{9}.$$

Dokaži da je $a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{33}{2}$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dana su dva jednaka kompleta od po $n$ kartica s oznakama od 1 do $n$. Na stol su nekim redom slijeva nadesno posložene sve kartice prvog kompleta, a u nastavku istim redom sve kartice drugog kompleta. Kažemo da je takav poredak kartica dobar ako je moguće odabrati i ukloniti nekih $n$ kartica tako da preostane $n$ kartica s brojevima od 1 do $n$ poredanih u rastućem poretku slijeva nadesno. Koliko ima dobrih rasporeda kartica?

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz $$x + |2|x| - 1|$$ za neki realni broj $x$.

Za višeznamenkasti prirodni broj definirana je operacija tumbanje pri kojem se vodeća znamenka izbriše, a zatim ista znamenka dopiše na kraj broja, iza znamenke jedinica. Tako npr. od broja 123 nastaje broj 231, a od broja 107 broj 71. Prirodni broj je mudar ako mu je vodeća znamenka u dekadskom zapisu jednaka 1, a tumbanjem od njega nastaje triput veći broj. Odredi sve mudre brojeve.

Unutar trokuta $ABC$ stranica duljina $|AB| = 11$, $|BC| = 13$ i $|CA| = 14$ nalazi se točka $K$ takva da je $\measuredangle KBA = \measuredangle KCB = 30°$. Točke $M$ i $N$ su redom osnosimetrične slike točke $K$ s obzirom na pravce $AB$ i $BC$. Odredi udaljenost točaka $M$ i $N$.

Realni brojevi $x$, $y$ i $z$ zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x^3 &= 2y^3 + y - 2\\ y^3 &= 2z^3 + z - 2\\ z^3 &= 2x^3 + x - 2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x = y = z = 1$.

Antonija je zamislila 6 različitih realnih brojeva, a zatim je na ploču napisala sve moguće zbrojeve dvaju, ne nužno različitih, zamišljenih brojeva. Kada je Branku rekla da su najmanja dva od zamišljenih brojeva 2024 i 4048, Branko je zaključio da koji god preostali brojevi bili, broj različitih brojeva na ploči nije mogao biti manji.

a) Koliko je različitih brojeva na ploči?

b) Koliki sve može biti najveći broj koji je Antonija zamislila?

Odredi sve trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$|a + 3| + b^2 + 4c^2 - 14b - 12c + 56 = 0.$$

Odredi sve trojke realnih brojeva $(a, b, c)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$a^3 + b^2c = ac$$ $$b^3 + c^2a = ba$$ $$c^3 + a^2b = cb.$$

Odredi sve četvorke prirodnih brojeva $(a, b, k, n)$ za koje vrijedi $$k \cdot 2^{2n} - (2k - 1) \cdot 2^n + k - 1 = k \cdot 2^{a + b} - 2^b.$$

Iz ploče dimenzija $2025 \times 2025$ uklonjen je kvadrat dimenzija $7 \times 7$, a preostali dio ploče prekriva se pločicama dimenzija $1 \times 4$ (tako da svaka pločica prekriva točno četiri polja).

(a) Ako uklonimo središnji $7 \times 7$ kvadrat, dokaži da je preostali dio ploče moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

(b) Ako uklonimo $7 \times 7$ kvadrat koji sadrži jedan ugao ploče, dokaži da preostali dio ploče nije moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

Neka su $K$ i $L$ redom polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$. Za točku $T$ unutar paralelograma vrijedi $|KT| = |AK|$ i $|LT| = |CL|$. Neka je $M$ polovište dužine $\overline{BT}$. Dokaži da je $\measuredangle MAT = \measuredangle TCM$.

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} |2x + 1| + 3x - 2y &= -14 \\ |3x + 1| + x + 4y &= 25. \end{aligned}$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a \geqslant c$ i $b \geqslant c$ vrijedi nejednakost $$\sqrt{c(a - c)} + \sqrt{c(b - c)} \leqslant \sqrt{ab}.$$

Vrhovima $B$, $C$ i $D$ kvadrata $ABCD$ prolaze, redom, međusobno paralelni pravci $b$, $c$ i $d$. Ako je udaljenost pravaca $b$ i $c$ jednaka 5, a udaljenost pravaca $b$ i $d$ jednaka 7, kolika može biti površina kvadrata $ABCD$?

Ploču na slici treba prekriti pločicama dimenzija $1 \times 2$. Svaka pločica prekriva točno dva polja. Pločice se smiju rotirati i ne smiju se preklapati. Dokaži da je broj načina na koje se to može napraviti jednak zbroju kvadrata dvaju prirodnih brojeva.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ takve da vrijedi $$2^a + 2b^2 = 3^c + 67.$$

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $x + y = 1$ i $x^3 + y^3 = 13$. Koliko je $x^2 + y^2$?

Dino, Pino i Tino idu u isti vrtić. Za igru svaki dječak treba dvije kockice iste boje, ali nije nužno da kockice koje imaju različiti dječaci budu različite boje. Odgojiteljica u jednoj ladici ima crvene, plave i zelene kockice. Ako izvlači bez gledanja, koliko najmanje kockica treba izvući iz ladice da bi bila sigurna da će od tih kockica svaki dječak moći uzeti dvije istobojne kockice?

U posudi $A$ nalazi se četiri kilograma grickalica, od čega je $45\%$ kikiriki. U posudi $B$ nalazi se pet kilograma grickalica, od čega je $48\%$ kikiriki. U posudi $C$ se nalazi jedan kilogram grickalica. Iz te posude se određeni dio prebaci u posudu $A$, a ostatak u posudu $B$, i to tako da je udio kikirikija u oba dijela jednak i iznosi $k\%$. Nakon toga je i u posudi $A$ i u posudi $B$ točno $50\%$ kikirikija. Odredi $k$.

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Na dvije nasuprotne strane kocke dimenzija $1 \times 1 \times 1$ nalazi se po jedna točka, na druge dvije nasuprotne strane po dvije točke, a na preostale dvije strane po tri točke. Od osam takvih identičnih kocki napravljena je kocka dimenzija $2 \times 2 \times 2$. Matija je izbrojio ukupan broj točaka na svakoj od strana te kocke i zaključio "dobili smo šest uzastopnih prirodnih brojeva". Je li Matija u pravu? Obrazloži odgovor.

Duljine kateta pravokutnog trokuta su $a$ i $b$, a duljina njegove hipotenuze je $c$. Ako su sve tri duljine prirodni brojevi, te $a$ k tome neparan prost broj, dokaži da je broj $2(a + b + 1)$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Točke $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$ povezane su dužinama kao na slici. Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ sijeku dužinu $\overline{DE}$ redom u točkama $F$ i $G$. Ako je $\measuredangle ABC = 20^{\circ}$ i ako je $\measuredangle DFA = \measuredangle CGE$, odredi $\measuredangle EAB + \measuredangle DEA$.

Svaki od trojice prijatelja popisao je svojih deset omiljenih računalnih igara. Na sva tri popisa zajedno našlo se $15$ različitih igara. Uspoređujući svoje popise uočili su da svaka dvojica imaju po $6$ istih igara na popisu. Koliko se igara nalazi na sva tri popisa?

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6, 8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $APQ$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Tea je umijesila tijesto od tri sastojka: brašna, vode i jaja. Masa brašna u tijestu prema masi vode odnosi se kao $7:2$, dok se masa vode prema masi jaja odnosi kao $5:2$. Ukupna masa tijesta je $1470$ grama. Odredi mase svakog od sastojaka.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a + b + c = 0$ i $abc = 4$. Odredi vrijednost izraza $a^3 + b^3 + c^3$.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Odredi sve parove $(m, n)$ prirodnih brojeva za koje je $m(m - 4n) = n - 4$.

Otac Matko prije $10$ godina imao je pet puta više godina nego njegova dva sina Josip i Kristijan zajedno. Tada je Josip bio dvostruko stariji od Kristijana. S druge strane, za $14$ će godina Josip i Kristijan zajedno imati jednako godina kao i njihov otac. Koliko su sada stari Matko, Josip i Kristijan?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$, $M$ polovište hipotenuze i $L$ sjecište simetrale pravog kuta s hipotenuzom. Ako mjera kuta $\measuredangle LCN$ iznosi $15°$, odredi mjeru kuta $\measuredangle MCL$.

Dokaži da je za sve prirodne brojeve $n$ broj $n^4 - n^2$ djeljiv s $12$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi različiti od nule za koje vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$$ Dokaži da je $abc < 0$.

Na ploči su napisana $2023$ različita realna broja. Ako svaki broj na ploči (istovremeno) zamijenimo zbrojem svih ostalih brojeva, na ploči će biti ista $2023$ broja kao i na početku. Koje sve vrijednosti može poprimiti umnožak svih brojeva na ploči u nekom trenutku?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Neka su $1 = d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_5 = 289$ i $d_3 - d_2 = 10$. Odredi $n$.

Koji je broj veći, $$A = 2022 \cdot (2024^2 - 2024 + 1) \quad \text{ili} \quad B = 2024^3 - 3 \cdot 2024^2 + 3 \cdot 2024?$$

Neka su $a, b, c, d$ međusobno različiti cijeli brojevi takvi da vrijedi $$(a - 2024)(b - 2024)(c - 2024)(d - 2024) = 9.$$ Odredi $a + b + c + d$.

Farmer Ivan na svojoj farmi ima kokoši, svinje i ovce. Njegove životinje imaju ukupno $46$ glava i $124$ noge. Kada bi udvostručio broj kokoši i utrostručio broj ovaca na farmi, uz isti broj svinja, ukupan broj nogu svih životinja na farmi bio bi $232$. Koliko bi u tom slučaju bilo glava?