Search

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $P$ na stranici $\overline{AC}$ i točka $Q$ na stranici $\overline{BC}$ odabrane su tako da je $|AP| + |BQ| = |PQ|$. Paralela s pravcem $BC$ kroz polovište dužine $\overline{PQ}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $N$. Kružnica opisana trokutu $PNQ$ siječe pravac $AC$ u točkama $P$ i $K$, a pravac $BC$ u točkama $Q$ i $L$. Ako je točka $R$ sjecište pravaca $PL$ i $QK$, dokaži da je pravac $PQ$ okomit na pravac $CR$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ te neka je $P$ točka različita od $A$ takva da je $PA \parallel BC$. Točke $X$ i $Y$ nalaze se redom na polupravcima $PB$ i $PC$, tako da je točka $B$ između $P$ i $X$, točka $C$ između $P$ i $Y$ te vrijedi $\measuredangle PXM = \measuredangle PYM$. Dokaži da su točke $A$, $P$, $X$ i $Y$ konciklične.

Consider an isosceles triangle. Let $r$ be the radius of its circumscribed circle and $\rho$ the radius of its inscribed circle. Prove that the distance $d$ between the centers of these two circles is $$d = \sqrt{r(r-2\rho)}.$$

Let $a, b, c$ be the lengths of the sides of a triangle, and $\alpha, \beta, \gamma$, respectively, the angles opposite these sides. Prove that if $$a + b = \tan \frac{\gamma}{2} (a \tan \alpha + b \tan \beta),$$ the triangle is isosceles.

$ABC$ is an isosceles triangle with $AB = AC$. Suppose that

1. $M$ is the midpoint of $BC$ and $O$ is the point on the line $AM$ such that $OB$ is perpendicular to $AB$;
2. $Q$ is an arbitrary point on the segment $BC$ different from $B$ and $C$;
3. $E$ lies on the line $AB$ and $F$ lies on the line $AC$ such that $E, Q, F$ are distinct and collinear.

Prove that $OQ$ is perpendicular to $EF$ if and only if $QE = QF$.

Let $ABC$ be a triangle with $AB = AC$. The angle bisectors of $\angle CAB$ and $\angle ABC$ meet the sides $BC$ and $CA$ at $D$ and $E$, respectively. Let $K$ be the incentre of triangle $ADC$. Suppose that $\angle BEK = 45^{\circ}$. Find all possible values of $\angle CAB$.

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AC = BC$. Let $N$ be a point inside the triangle such that $2\angle ANB = 180° + \angle ACB$. Let $D$ be the intersection of the line $BN$ and the line parallel to $AN$ that passes through $C$. Let $P$ be the intersection of the angle bisectors of the angles $CAN$ and $ABN$.

Show that the lines $DP$ and $AN$ are perpendicular.

U jednakokračnom trokutu duljina osnovice je $a$, duljina kraka $b$, duljina visine na osnovicu $v$, pri čemu vrijedi: $\dfrac{a}{2} + v \geq b\sqrt{2}$. Odredite kutove trokuta. Kolika je površina trokuta ako je $b = 8\sqrt{2}$?

U jednakokračnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$ i $\measuredangle BAC < 60°$. Neka je točka $D$ na dužini $\overline{AC}$ takva da je $\measuredangle DBC = \measuredangle BAC$, neka je $E$ sjecište simetrale dužine $\overline{BD}$ i paralele s $BC$ kroz točku $A$ te neka je $F$ točka na pravcu $AC$ takva da se $A$ nalazi između $C$ i $F$ i vrijedi $|AF| = 2|AC|$.

(a) Dokaži da su pravci $BE$ i $AC$ paralelni.

(b) Dokaži da se okomica iz $F$ na $AB$ i okomica iz $E$ na $AC$ sijeku na pravcu $BD$.

U (b) dijelu zadatka dozvoljeno je korištenje tvrdnje iz (a) čak i ako nije dokazana.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je $\overline{BC}$ osnovica. S vanjske strane tog trokuta nacrtani su jednakokračni trokuti $CBD$, $ACE$ i $BAF$ slični trokutu $ABC$, kojima su osnovice redom $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{BF}$. Ako je $\measuredangle CAB = 38°$, odredi $\measuredangle EDF$.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Osnovica $\overline{BC}$ je najdulja stranica jednakokračnog trokuta $ABC$. Neka je $M$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $|BM| = |AB|$. Nožište okomice iz točke $M$ na $\overline{AB}$ je točka $N$. Dokaži da trokut $BMN$ i četverokut $ACMN$ imaju jednake površine i jednake opsege.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$, a simetrala kuta $\measuredangle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $|BC| = |BD| + |AD|$. Odredi kutove tog trokuta.

U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\measuredangle ADC = \beta$, odnosno $\measuredangle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\measuredangle ACB$ pravi.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $|AD| < |CD|$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\measuredangle APC$ pravi kut. Ako je $\measuredangle ABP = \measuredangle BCP$, odredi $|AD| : |CD|$.

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$, različito od $A$. Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$. Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$