Search

Determine whether the following statement is true for every polynomial $P$ of degree at least 2 with nonnegative integer coefficients:

There exists a positive integer $m$ such that for infinitely many positive integers $n$ the number $P^n(m)$ has more than $n$ distinct positive divisors.

Remark. Here $P^n$ denotes $P$ applied $n$ times, this means $P^n(x) = \underbrace{P(P(\ldots P(x)\ldots))}_{n \text{ times}}$.

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \ldots + a_1x + a_0$ takvih da je $f(2026) = 0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $$(f(x + 1) - f(x)) \cdot g(x) = f(x)$$ vrijedi za svaki realan broj $x$.