Search

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ takve da vrijedi $$f(x^2 (f(y))^2) = (f(x))^2 f(y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{Q}^+.$$

($\mathbb{Q}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih racionalnih brojeva.)

Neka je $\mathbb{Q}_0^+$ skup svih nenegativnih racionalnih brojeva.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}_0^+ \to \mathbb{Q}_0^+$ takve da za sve nenegativne racionalne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$yf(x + y) + (y - 1)f(xy) = f(y^2)f(x + 1).$$

Za pozitivan racionalan broj $q$ kažemo da je sjajan ako za svaki pozitivan racionalan broj $x$ postoje cijeli broj $n \geqslant 0$ i cijeli brojevi $a_0, \ldots, a_n$ takvi da je

$$x = q^{a_0} \cdot (q + 1)^{a_1} \cdot \ldots \cdot (q + n)^{a_n}.$$

Odredi sve sjajne brojeve.

Determine, with proof, whether or not one can find 1975 points on the circumference of a circle with unit radius such that the distance between any two of them is a rational number.

Let $n$ be an integer greater than or equal to 3. Prove that there is a set of $n$ points in the plane such that the distance between any two points is irrational and each set of three points determines a non-degenerate triangle with rational area.

Let $\mathbb{Q}^+$ be the set of positive rational numbers. Construct a function $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ such that

$$f(xf(y)) = \frac{f(x)}{y}$$

for all $x, y$ in $\mathbb{Q}^+$.

(a) Prove that $$\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$$ for all real numbers $x, y, z$, each different from 1, and satisfying $xyz = 1$.

(b) Prove that equality holds above for infinitely many triples of rational numbers $x, y, z$, each different from 1, and satisfying $xyz = 1$.

Let $\mathbb{Q}_{>0}$ be the set of positive rational numbers. Let $f: \mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{R}$ be a function satisfying the following three conditions:

(i) for all $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$, we have $f(x)f(y) \geq f(xy)$;

(ii) for all $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$, we have $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$;

(iii) there exists a rational number $a > 1$ such that $f(a) = a$.

Prove that $f(x) = x$ for all $x \in \mathbb{Q}_{>0}$.

Let $\mathbb{Q}$ be the set of rational numbers. A function $f\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ is called aquaesulian if the following property holds: for every $x, y \in \mathbb{Q}$, $$f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{or} \quad f(f(x) + y) = x + f(y).$$

Show that there exists an integer $c$ such that for any aquaesulian function $f$ there are at most $c$ different rational numbers of the form $f(r) + f(-r)$ for some rational number $r$, and find the smallest possible value of $c$.

Let $\mathbb{Q}^+$ denote the set of all positive rational numbers and let $\alpha \in \mathbb{Q}^+$. Determine all functions $f\colon \mathbb{Q}^{+}\to (\alpha , + \infty)$ satisfying

$$f \left(\frac {x + y}{\alpha}\right) = \frac {f (x) + f (y)}{\alpha}, \quad \text {for all} \, x, y \in \mathbb {Q} ^ {+}.$$

Let $P(x)$ be a polynomial of degree $n \geq 2$ with rational coefficients such that $P(x)$ has $n$ pairwise different real roots forming an arithmetic progression. Prove that among the roots of $P(x)$ there are two that are also the roots of some polynomial of degree $2$ with rational coefficients.

Za koje $n \in \mathbb{N}$ je izraz $\frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{n}}{2\sqrt{7} - \sqrt{n}}$ cjelobrojan?

Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n},$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} < 1$.

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x + y$ i $x^2 + y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha] | n \in \mathbf{N}\}$ i $B = \{[n\beta] | n \in \mathbf{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbf{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbf{N}$.

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.

Na koliko načina se broj $\dfrac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\dfrac{n + 1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geq 3$ postoji $n$ različitih prirodnih brojeva čiji je zbroj reciprocnih vrijednosti jednak $1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da je broj $$\frac{6z^2 + 5z + 6}{3z^2 + 10z + 3}$$ realan. Dokaži da je $z$ realan broj ili da vrijedi $|z| = 1$.