Croatian Mathematical Olympiad 2017

Odredi najmanji realni broj $C$ takav da je za sve pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, a_3, a_4$ i $a_5$ moguće odabrati međusobno različite indekse $i, j, k, l$ tako da vrijedi

$$\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leqslant C.$$

Dokaži da je moguće svaki prirodni broj obojiti jednom od tri boje tako da sljedeća dva uvjeta budu zadovoljena:

i) Za svaki $n \in \mathbb{N}_0$, svi prirodni brojevi $x$ takvi da je $2^n \leqslant x < 2^{n+1}$ su iste boje.

ii) Ne postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ iste boje (osim $x = y = z = 2$) takvi da vrijedi $x + y = z^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$5m^3 = 27n^4 - 2n^2 + n.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$xf(x) - yf(y) = (x - y)(f(x + y) - xy).$$

U jednoj organizaciji postoje tri odbora. Svaka osoba pripada točno jednom odboru. Za svake dvije osobe koje pripadaju različitim odborima, u preostalom odboru postoji točno $10$ osoba koje te dvije osobe obje poznaju, te točno $10$ osoba koje nijedna od te dvije osobe ne poznaje. Poznanstva su uzajamna. Koliko je ukupno osoba u sva tri odbora zajedno?

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.$$

U nekom arhipelagu nalazi se $2017$ otoka nazvanih $1, 2, \ldots, 2017$. Dvije agencije, Crveni zmaj i Plavo oko, dogovaraju se oko rasporeda brodskih linija između pojedinih otoka. Za svaki par otoka, točno jedna agencija će organizirati brodsku liniju i to samo u smjeru od otoka nazvanog manjim brojem do otoka nazvanog većim brojem.

Raspored brodskih linija je dobar ako ne postoje dva otoka s oznakama $A < B$ takva da je s otoka $A$ na otok $B$ moguće doći koristeći samo brodove Crvenog zmaja, a također i koristeći samo brodove Plavog oka.

Odredi ukupan broj dobrih rasporeda brodskih linija.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{3}{2} < \frac{4a + b}{a + 4b} + \frac{4b + c}{b + 4c} + \frac{4c + a}{c + 4a} < 9.$$

Ludi lovac je figura koja može biti okrenuta prema jednom od četiri dijagonalno susjedna polja i napada sva polja ravno ispred sebe te ravno lijevo i desno od sebe (poput šahovskog lovca koji ne vidi iza sebe). Za dva polja igraće ploče kažemo da su dijagonalno susjedna ako imaju točno jedan zajednički vrh.

Odredi najveći prirodni broj $N$ za koji je na igraću ploču $8 \times 8$ moguće postaviti $N$ ludih lovaca tako da nijedan od njih ne napada nekog od ostalih.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$