Let $ABC$ be a triangle. Its incircle $\omega$ touches the sides $BC, CA$ and $AB$ at points $D, E$ and $F$, respectively. Let $P$ and $Q$ be points on the line $BC$ distinct from $D$ such that $PB = BD$ and $QC = CD$. Prove that the circumcircles of the triangles $PCE$ and $QBF$ and the circle $\omega$ pass through a common point.

A subset $S$ of the integers is called Saxonian if for every three pairwise different elements $a, b, c \in S$ the number $ab + c$ is the square of an integer. Prove that any Saxonian set is finite. Determine the largest possible number of elements that a Saxonian set can have.

Bob has $n$ coins with integer values $$c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_n > 0.$$

He is standing in front of a vending machine that offers $n$ candy bars with positive integer costs $b_1, b_2, \ldots, b_n$. Bob notices that for every $i \in \{1, \ldots, n\}$, it holds that $$b_1 + b_2 + \cdots + b_i \geq c_1 + c_2 + \cdots + c_i.$$

Furthermore, the total value of Bob's coins equals the sum of the costs of all the candy bars. The candy bars can be purchased in any order. In order to buy the $i$-th candy bar, Bob has to insert coins of total value at least $b_i$. However, the machine does not give him back any change.

Prove that Bob can buy at least half of the candy bars.

Let $\mathbb{R}^+$ be the set of positive real numbers. Determine all functions $f\colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ such that for all numbers $x,y\in \mathbb{R}^{+}$, we have $$f(xy) + f(x) = f(y)f(xf(y)) + f(x)f(y),$$

and there exists at most one number $a \in \mathbb{R}^+$ such that $f(a) = 1$.

A snake in an $n \times n$ grid is a path composed of straight line segments between centres of adjacent cells, going through the centres of all the $n^2$ grid cells, which visits each cell exactly once. Here two grid cells are considered to be adjacent if they share an edge. Note that all pieces of the snake path are parallel to grid lines. The figure shows an example of a snake in a $4 \times 4$ grid. This snake makes nine $90^\circ$ turns, marked by small black squares.

Let us now consider a snake through the 2025 cells of a $45 \times 45$ grid. What is the maximum possible number of $90^\circ$ turns that such a snake can make?

Let $n$ be a positive integer. In the province of Laplandia there are $100n$ cities, each two connected by a direct road, and each of these roads has a toll station collecting a positive amount of toll revenue. For each road, the revenue of its toll station is split equally between the two cities at the ends of the road (meaning that each of the two cities receives half of the income). For each city, the total toll revenue is given by the sum of the revenues it receives from the $100n - 1$ toll stations on its roads.

According to a new law, the revenues of some of the toll stations will be collected by the federal government instead of by the adjacent cities. The governor of Laplandia is allowed to choose those toll stations. The mayors of the cities demand that for each city, the sum of the remaining revenues it receives from the other toll stations after this change is at least $99\%$ of its former total toll revenue.

Find the largest positive integer $k$, depending on $n$, such that the governor can always choose $k$ toll stations for the federal government to collect the toll revenue, while satisfying the demand of the city mayors.

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB < AC$. Denote by $D$ the foot of the perpendicular from $A$ to $BC$. Let $E$ be the point such that $ABEC$ is a parallelogram. Let $M$ be a point inside triangle $ABC$ such that $MB = MC$. Let $F$ be the reflection of point $D$ across the tangent to the circumcircle of triangle $ADM$ at point $M$. Prove that $AF = DE$.

Let $ABC$ be an acute triangle with an interior point $D$ such that $\angle BDC = 180^{\circ} - \angle BAC$. The lines $BD$ and $AC$ intersect at the point $E$, and the lines $CD$ and $AB$ intersect at the point $F$. The points $P \neq E$ and $Q \neq F$ lie on the line $EF$ so that $BP = BE$ and $CQ = CF$. Assume that the segments $AP$ and $AQ$ intersect the circumcircle $\omega$ of $ABC$ at the points $R \neq A$ and $S \neq A$, respectively. Prove that the lines $RF$ and $SE$ intersect on $\omega$.

Let $n$ be a positive integer such that the sum of positive divisors of $n^2 + n + 1$ is divisible by 3. Prove that it is possible to partition the set of positive divisors of $n^2 + n + 1$ into three sets such that the product of all elements in each set is the same.

Determine whether the following statement is true for every polynomial $P$ of degree at least 2 with nonnegative integer coefficients:

There exists a positive integer $m$ such that for infinitely many positive integers $n$ the number $P^n(m)$ has more than $n$ distinct positive divisors.

Remark. Here $P^n$ denotes $P$ applied $n$ times, this means $P^n(x) = \underbrace{P(P(\ldots P(x)\ldots))}_{n \text{ times}}$.

Nači najmanju vrijednost zbroja $$S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$$ pri čemu su $x, y, z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Za koje brojeve se ona dostiže?

Površina pravokutnog trokuta jednaka je umnošku udaljenosti krajeva hipotenuze od njezinog dirališta s upisanom kružnicom. Dokaži!

Da li jednadžba $y^2 = x^2 + 1990$ ima cjelobrojno rješenje?

Riješi sustav jednadžbi $$|x - 3| + |y + 2| = 1$$ $$|x + 1| - |y - 1| = 2, \quad x, y \in \mathbb{R}$$ i skiciraj skup rješenja u koordinatnoj ravnini.

Kugla polumjera $R$ presječena je s dvije paralelne ravnine tako da je središte kugle izvan sloja određenog tim ravninama. Neka su $P_1$ i $P_2$ površine presjeka, a $d$ međusobna udaljenost danih ravnina. Nađite površinu presjeka kugle ravninom koja je paralelna danim ravninama i jednako od njih udaljena.

Odredite četveroznamenkasti broj oblika $\overline{aabb}$ koji je potpuni kvadrat.

Dokažite da se svaki poligon opsega $1$ može prekriti krugom polumjera $\frac{1}{4}$.

Za koje $n \in \mathbb{N}$ je izraz $\frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{n}}{2\sqrt{7} - \sqrt{n}}$ cjelobrojan?

Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4}.$$

Neka su $a$ i $b$ duljine osnovica trapeza. Dokažite:

(a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je $\sqrt{\frac{a^2 + c^2}{2}}$ (kvadratna sredina).

(b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je $\frac{a + c}{2}$ (aritmetička sredina).

(c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je $\sqrt{ac}$ (geometrijska sredina).

(d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je $\frac{2}{\frac1a + \frac1c}$ (harmonijska sredina).

Riješite sustav jednadžbi $$\begin{aligned} 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 2x_2 - 5x_3 + 3x_4 &= 0 \\ &\vdots \\ 2x_{1993} - 5x_{1994} + 3x_1 &= 0 \\ 2x_{1994} - 5x_1 + 3x_2 &= 0. \end{aligned}$$

Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$(p^2 + p + 1)(q^2 + q + 1) \geq 9pq.$$

U pravokutni trokut $ABC$ s duljinom hipotenuze $c$ i pripadnom visinom $h$ upisan je kvadrat $DEFG$ sa dva susjedna vrha $D, E$ na hipotenuzi $\overline{AB}$ i po jednim vrhom $F$ i $G$ na katetama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Izračunajte duljinu $x$ stranice tog kvadrata i dokažite jednakost $|AD| \cdot |BE| = x^2$.

Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2(a_1 + a_2)} + \frac{a_2}{a_3(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_n}{a_1(a_n + a_1)} = \frac{a_2}{a_1(a_1 + a_2)} + \frac{a_3}{a_2(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_1}{a_n(a_n + a_1)}.$$

Nadite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} - 2\sqrt{2x + 3 - 4\sqrt{2x - 1}} + 3\sqrt{2x + 8 - 6\sqrt{2x - 1}} = 4.$$

Dokažite da postoji broj oblika $\overline{.\,.\,.\,.\,1995}$ djeljiv sa $1999$.

Dokažite da je izraz $$a^4 - 10a^2 + 9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a + b + c + d = 0$. Neka je $S_1 = ab + bc + cd$ i $S_2 = ac + ad + bd$. Pokažite da je $$5S_1 + 8S_2 \leq 0 \quad \text{i} \quad 8S_1 + 5S_2 \leq 0.$$

Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$|SR| = \frac{1}{4} |AE|.$$

Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Zadani su realni brojevi $a < b < c < d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p, q, r, s$ za koje je $\{a, b, c, d\} = \{p, q, r, s\}$, a vrijednost izraza $$(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - s)^{2} + (s - p)^{2}$$ je najmanja.

Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ koje iznutra diraju kružnicu $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

Na beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednake kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?

Što je veće $$A = \frac{2.00\dots004}{(1.00\dots004)^2 + 2.00\dots004} \quad \text{ili} \quad B = \frac{2.00\dots002}{(1.00\dots002)^2 + 2.00\dots002},$$ gdje u svakom broju u brojniku i nazivniku ima po $1998$ nula?

Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$10(m + n) = mn.$$

Ivan i Krešo, pošli su istodobno iz Crikvenice u Kraljevicu, čija je udaljenost $15\,\text{km}$, a Marko je u isto vrijeme krenuo iz Kraljevice u Crikvenicu. Sva trojica imala su jedan bicikl i put su prevaljivali pješačenjem brzinom od $5\,\text{km/h}$ ili biciklom brzinom od $15\,\text{km/h}$. Ivan je pošao pješice, dok je Krešo vozio bicikl sve dok se nije sreo s Markom. Tada je Krešo dao bicikl Marku i nastavio put prema Kraljevici pješice, a Marko je nastavio put prema Crikvenici biciklom. Kada je sreo Ivana dao mu je bicikl i ovaj je vozeći se stigao u Kraljevicu, dok je Marko pješice nastavio put do Crikvenice. Koliko vremena je svaki od njih trebao da dođe do svog cilja, koliko je pješačio, a koliko vozio bicikl?

Izračunajte površinu šrafiranog lika na slici ako stranica pravilnog šesterokuta ima duljinu $a$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ polumjera $r_1 = 6$ i $r_2 = 3$ dodiruju se izvana. Obje kružnice dodiruju iznutra kružnicu $k$ polumjera $r = 9$. Zajednička vanjska tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$ siječe kružnicu $k$ u točkama $P$ i $Q$. Izračunajte duljinu tetive $\overline{PQ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\frac{a^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \frac{1}{2}.$$

Dokažite da je za svaki $a \in (1,2)$ površina lika kojeg omeđuju grafovi funkcija $$y = 1 - |x - 1| \quad \text{i} \quad y = |2x - a|,$$ manja od $\dfrac{1}{3}$.

Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$. Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja $a_i$ i $a_j$, $(i \neq j)$, te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$?

Riješite jednadžbu $$\frac {1}{x} + \frac {2}{y} - \frac {3}{z} = 1$$ u skupu prirodnih brojeva.

Kružnica upisana u trokut $ABC$ dodiruje njegove stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Izrazite kutove trokuta $A_{1}B_{1}C_{1}$ pomoću kutova trokuta $ABC$.

Neka je $m \geq 2$ prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba $$\left\lfloor \frac {x}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac {x}{m - 1} \right\rfloor ?$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $|MP| - |MS|$.

Dokažite da za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi nejednakost $$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}.$$

Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $$\square\llap{\raisebox{-1.5ex}{$\square$}}\kern-0.15em\square$$ tako da se one međusobno ne preklapaju?