Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $k$ i $n$ takvi da vrijedi

$$k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1).$$

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi

$$\left(1 + \frac{c}{a}\right) \left(1 + \frac{c}{b}\right) \geqslant 3 + 2\sqrt{2}.$$

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Brojevi $1, 2, \ldots, 10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove.

Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$.

Odredi najmanji prirodni broj $a$ takav da je vrijednost izraza

$$\frac{n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + a}{n^2 - 1}$$

za $n = 2014$ cijeli broj djeljiv sa $3$.

Na igralištu se nalazi $2014$ sportaša koji na dresovima imaju brojeve od $1$ do $2014$ (svaki broj je na točno jednom dresu). Na početku su svi u stojećem položaju. U određenim vremenskim intervalima trener uzvikuje redom sve prirodne brojeve od $1$ do $2014$. Sportaši kojima je na dresu višekratnik uzviknutoga broja odmah mijenjaju svoj položaj iz stojećeg položaja u čučanj ili obratno.

Koliko je sportaša u čučnju nakon što trener uzvikne broj $2014$?

Dužina $\overline{AB}$ je promjer kružnice sa središtem $O$. Na kružnici je dana točka $C$ takva da je $OC$ okomito na $AB$. Na kraćem luku $\widehat{BC}$ odabrana je točka $P$. Pravci $CP$ i $AB$ sijeku se u točki $Q$, a točka $R$ je sjecište pravca $AP$ i okomice kroz $Q$ na pravac $AB$.

Dokaži da je $|BQ| = |QR|$.

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Andrija i Boris imaju $2014$ karata označenih brojevima od $1$ do $2014$. Andrija ima sve karte s parnim, a Boris sve karte s neparnim brojevima. Andrija je poredao svoje karte ukrug redom, od $2$ do $2014$, u smjeru kazaljke na satu tako da se brojevi na kartama ne vide. Boris zna da su karte poredane tim redom i u tom smjeru, ali ne zna gdje se nalazi karta s brojem $2$. Nakon toga, Boris na svaku Andrijinu stavi po jednu od svojih karata i tako nastane $1007$ parova karata. Za svaki se par usporedi brojeve na kartama i dodijeli jedan bod onom igraču na čijoj je karti veći broj.

Odredi najveći mogući $N$ tako da Boris može biti siguran da će ostvariti barem $N$ bodova.

Oko okruglog stola nalazi se deset stolica označenih redom brojevima od $1$ do $10$ (pri čemu su stolice $1$ i $10$ susjedne) i na svakoj sjedi po jedan vitez. Svaki vitez na početku ima paran broj zlatnika. Istovremeno svaki vitez pokloni polovinu svojih zlatnika svom lijevom susjedu, a pola svojih zlatnika svom desnom susjedu. Nakon toga vitez na stolici $1$ ima $22$ zlatnika, a svaki idući za dva više, sve do viteza na stolici $10$ koji ima $40$ zlatnika. Koliko je zlatnika na početku imao vitez koji na kraju ima $36$ zlatnika?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n$ takav da $6^n - 1$ dijeli $7^n - 1$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^4 + 3ab^3}{a^3 + 2b^3} + \frac{b^4 + 3bc^3}{b^3 + 2c^3} + \frac{c^4 + 3ca^3}{c^3 + 2a^3} \leqslant 4.$$

Na ploči se nalazi prvih $n$ prirodnih brojeva ($n \geqslant 3$). Ante ponavlja sljedeći postupak: najprije po volji bira dva broja na ploči, a zatim ih povećava za isti proizvoljni iznos.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje Ante, ponavljanjem tog postupka, može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $C$ i $E$, a kružnicu $k_2$ u točkama $D$ i $F$ tako da se točka $D$ nalazi između $C$ i $E$, a točka $E$ između $D$ i $F$. Pravci $CA$ i $BF$ sijeku se u točki $G$, a pravci $DA$ i $BE$ u točki $H$. Dokaži da je $CF \parallel HG$.

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Dana je dužina $\overline{AD}$ duljine 3. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $\overline{AD}$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ takve da vrijedi $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{7}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $$c = a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}.$$ Dokaži da je $c$ kvadrat nekog prirodnog broja.

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5. Odredi broj točaka svake boje.

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi različite parnosti. Dokaži da postoji cijeli broj $c$ takav da su brojevi $ab + c$, $a + c$ i $b + c$ kvadrati cijelih brojeva.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{x}{y + z + w} + \frac{y}{z + w + x} + \frac{z}{w + x + y} + \frac{w}{x + y + z} = 1,$$

odredi

$$\frac{x^2}{y + z + w} + \frac{y^2}{z + w + x} + \frac{z^2}{w + x + y} + \frac{w^2}{x + y + z}.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AC$, a točka $C'$ je osnosimetrična slika točke $C$ s obzirom na pravac $AB$. Kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku se u točkama $A$ i $P$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ABC$ leži na pravcu $AP$.

Polja ploče dimenzija $N \times N$ obojana su u crno i bijelo tako da su polja koja imaju zajedničku stranicu različite boje i tako da je barem jedno polje u kutu ploče crne boje. U pojedinom koraku odabire se kvadrat dimenzija $2 \times 2$ i sva četiri polja unutar tog kvadrata mijenjaju boju tako da bijela polja postaju crna, crna postaju siva, a siva postaju bijela.

Odredi sve prirodne brojeve $N > 1$ za koje je konačnim nizom opisanih koraka moguće postići da sva polja koja su na početku bila crna budu bijela i da sva polja koja su na početku bila bijela budu crna.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x &+ y \; - z &= -1 \\ x^2 &- y^2 + z^2 &= \phantom{-}1 \\ -x^3 &+ y^3 + z^3 &= -1. \end{aligned}$$

Neka su $D_0, D_1, \ldots, D_{2018}$ točke na dužini $\overline{AB}$ takve da je $D_0 = A$, $D_{2018} = B$ i $$|D_0D_1| = |D_1D_2| = \cdots = |D_{2017}D_{2018}|.$$

Ako je $C$ točka takva da je $\angle BCA = 90^\circ$, dokaži da vrijedi $$|CD_0|^2 + |CD_1|^2 + \cdots + |CD_{2018}|^2 = |AD_1|^2 + |AD_2|^2 + \cdots + |AD_{2018}|^2.$$

Dani su prosti broj $p$ i prirodni broj $n \geqslant p-1$. Ako je broj $np+1$ kvadrat nekog prirodnog broja, dokaži da je broj $n+1$ zbroj kvadrata nekih $p$ prirodnih brojeva.

U trokutu $ABC$ je $\measuredangle CAB = 2\measuredangle ABC$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta $ABC$, a pritom vrijedi $|AD| = |BD|$ i $|CD| = |AC|$. Dokaži da je $\measuredangle ACB = 3\measuredangle DCB$.

Za prirodne brojeve raspoređene ukrug kažemo da su u cik-cak rasporedu ako je svaki broj ili veći ili manji od oba svoja susjeda. Za par susjednih brojeva kažemo da je dobar ako su nakon njegovog uklanjanja preostali brojevi također u cik-cak rasporedu.

Brojevi od 1 do 300 raspoređeni su u cik-cak raspored. Koliki je najmanji mogući broj dobrih parova susjednih brojeva?

Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom. U trenutku kad prednji kraj vlaka dođe do njih, Ana krene stalnom brzinom u smjeru kretanja vlaka, a Vanja istom brzinom u suprotnom smjeru. Svaka od njih se zaustavlja u trenutku kad stražnji kraj vlaka prođe kraj nje. Ana je ukupno prošla 45 metara, a Vanja 30 metara. Koliko je dugačak vlak?

U pravokutnom trokutu duljine svih stranica su prirodni brojevi, a polumjer upisane kružnice iznosi 4. Odredi sve moguće vrijednosti duljina kateta tog trokuta.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{1 + 9a^2}{1 + 2a + 2b^2 + 2c^2} + \frac{1 + 9b^2}{1 + 2b + 2c^2 + 2a^2} + \frac{1 + 9c^2}{1 + 2c + 2a^2 + 2b^2} < 4.$$

Neka je $k > 1$ prirodan broj. Dano je $k + 2$ međusobno različitih prirodnih brojeva manjih od $3k + 1$. Dokaži da među njima postoje dva čija je razlika veća od $k$ i manja od $2k$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$ i $\measuredangle BAC < 60°$. Neka je točka $D$ na dužini $\overline{AC}$ takva da je $\measuredangle DBC = \measuredangle BAC$, neka je $E$ sjecište simetrale dužine $\overline{BD}$ i paralele s $BC$ kroz točku $A$ te neka je $F$ točka na pravcu $AC$ takva da se $A$ nalazi između $C$ i $F$ i vrijedi $|AF| = 2|AC|$.

(a) Dokaži da su pravci $BE$ i $AC$ paralelni.

(b) Dokaži da se okomica iz $F$ na $AB$ i okomica iz $E$ na $AC$ sijeku na pravcu $BD$.

U (b) dijelu zadatka dozvoljeno je korištenje tvrdnje iz (a) čak i ako nije dokazana.

Odredi najmanju vrijednost izraza $$|x + 1| + |x - 2| + |x - 3|,$$ pri čemu je $x$ realni broj.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle BAC = 60°$ i $|AB| > |AC|$. Ako je $I$ središte upisane kružnice, a $H$ ortocentar tog trokuta, dokaži da je $2\measuredangle AHI = 3\measuredangle ABC$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše su dvije u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2}, \\ y^{2} - z &= x^{2}, \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji zadovoljavaju jednakost $$3^{a} - 2^{b} = 2021.$$

U trapezu $ABCD$ zbroj duljina osnovica $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ jednak je duljini kraka $\overline{AD}$. Pravac paralelan osnovicama kroz sjecište dijagonala siječe krak $\overline{AD}$ u točki $E$. Dokaži da je $\measuredangle BEC = 90^{\circ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi koji zadovoljavaju jednakost $$|a + b| + |a + c| + |b + c| = 8.$$ Odredi najveću i najmanju moguću vrijednost izraza $$a^{2} + b^{2} + c^{2}$$ te odredi kada se ona postiže.

U nekom jeziku svaka je riječ niz slova $a$ i $b$. Svaka riječ ima barem jedno i najviše 13 slova, no nisu svi takvi nizovi riječi. Poznato je da nadovezivanjem jedne riječi na drugu nikad ne dobivamo riječ. Odredi najveći mogući broj riječi u tom jeziku.

Natjecanje se održava u 11 učionica u kojima se nalazi isti broj klupa raspoređenih na isti način: u određenom broju stupaca i određenom broju redova. U svakoj je klupi po jedan učenik. Kada bi u svakoj učionici bio jedan red klupa manje i jedan stupac klupa više, bilo bi dovoljno 10 učionica, a još bi dvije klupe ostale prazne. Koliko ukupno može biti učenika na natjecanju ako je poznato da je njihov broj troznamenkast?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||x - 2| - x + a| = x + 3$$ ima točno dva realna rješenja.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je $\overline{BC}$ osnovica. S vanjske strane tog trokuta nacrtani su jednakokračni trokuti $CBD$, $ACE$ i $BAF$ slični trokutu $ABC$, kojima su osnovice redom $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{BF}$. Ako je $\measuredangle CAB = 38°$, odredi $\measuredangle EDF$.

Odredi sve parove nenegativnih cijelih brojeva $(k, m)$ za koje vrijedi $$3m^3 - m + 21 = 3^{3k+1} - 2 \cdot 3^{2k+2} + 3^{k+3} + 3^{k+2}.$$

Dan je konveksan mnogokut s 2022 vrha kojem se nikoje tri dijagonale ne sijeku u istoj točki. Potrebno je obojiti neke dijagonale crveno tako da iz svakog vrha izlazi barem jedna crvena dijagonala.

Koliko je najmanji mogući broj sjecišta (u vrhu ili unutrašnjosti) crvenih dijagonala?

Odredi sve trojke $(p,q,r)$ prostih brojeva za koje vrijedi $pq + r = 1 + rp + qr$.