Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt{9 - 5x} - \sqrt{3 - x} = \dfrac{6}{\sqrt{3 - x}}$.

Sir se nalazi u točki $(13,13)$, a miš trči pravocrtno od točke $(4, -2)$ do točke $(-1, 23)$. U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Pet strana drvene kocke obojano je plavom bojom dok je jedna strana neobojana. Kocka je potom razrezana na sukladne manje kockice od kojih $649$ ima točno jednu plavu stranu. Koliko je manjih kockica koje imaju točno dvije plave strane?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $a < b$ i neka je $S = \{a^2, a^2 + 1, a^2 + 2, \ldots, b^2\}$. Odredi sve parove brojeva $a$ i $b$ za koje je među elementima skupa $S$ točno $1\%$ kvadrata prirodnih brojeva.

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Neka su $p$ i $q$ prosti brojevi takvi da su $p + q + 4$ i $pq - 12$ također prosti brojevi. Odredi $p + q$.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $x$ realan broj različit od $-1$ i $1$. Dokaži da vrijedi $$x^2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} \geq 2.$$

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$\begin{cases} a^2 - 2ab + c^2 = ac - 13 \\ b^2 + ac = 23 \end{cases}$$

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ takve da je $$x^2 + y^2 = 10(x + y).$$

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Riješi nejednadžbu $$\frac{(1 + x)^2}{1 + y} \leqslant 1 + \frac{x^2}{y}.$$ Za koje parove $(x, y)$ se postiže jednakost?

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$. Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$. Ako je $|AB| = 2$ i $|CD| = 1$, odredi $|OC|$.

Kažemo da je prirodni broj $n \geqslant 2$ tajanstven ako za svaki njegov djelitelj $d$ veći od $1$ vrijedi $d^2 + n \mid n^2 + d$. Odredi sve tajanstvene prirodne brojeve.

Na slici je prikazan skup od $16$ točaka raspoređenih na $10$ istaknutih pravaca. Za dvije točke tog skupa kažemo da su vezane ako pripadaju istom istaknutom pravcu.

a) Koliko je najviše točaka promatranog skupa moguće odabrati tako da među njima ne bude vezanih točaka?

b) Odredi broj podskupova promatranog skupa točaka bez vezanih točaka s najvećim mogućim brojem elemenata.

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ za koje je funkcija $f, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ rastuća.

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Ako je $$\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}} = a,$$ koliko je $(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2})^3$?

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\frac{3 - 2\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 2} - 2} \geqslant \sqrt{x + 6}.$$

Grafovi funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 9x - 20$ i $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$ nacrtani su u koordinatnoj ravnini. Odredi najveću moguću površinu pravokutnog trokuta $ABC$ s pravim kutom u vrhu $C$ smještenog tako da su mu vrhovi $A$ i $C$ na osi apscisa, vrh $A$ pripada grafu funkcije $f$, a vrh $B$ grafu funkcije $g$ i pritom je apscisa točke $B$ manja od apscise točke $A$, a njena ordinata veća od ordinate točke $A$.

Zadan je pravokutan trokut opsega $60$ čija je visina na hipotenuzu duljine $12$. Odredi duljine stranica tog trokuta.

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 19x + r = 0$ kubovi cijelih brojeva.

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$.

(a) Može li tablica imati točno $200$ polja?

(b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AD| = 5$, $|\measuredangle CBA| = 90^\circ$, te su kutovi $\measuredangle ADC$ i $\measuredangle DCB$ šiljasti i međusobno sukladni. Odredi duljinu dužine $\overline{CD}$.

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x + y$ i $x^2 + y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva takve da površina trokuta čiji su vrhovi točke u kojima parabola $y = x^2 + ax + b$ siječe koordinatne osi iznosi $3$.

Odredi sve trojke $(a, b, c)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \quad \text{i} \quad (2b - 2a - c)a \geqslant \frac{1}{2}.$$

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva takve da je $$a^3 = b^2, \quad c^5 = d^4 \quad \text{i} \quad a - c = 9.$$

Neka je $O$ središte opisane kružnice, a $H$ ortocentar trokuta $ABC$. Pravac $AO$ siječe opisanu kružnicu u točki $D$. Dokaži da pravac $HD$ prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$.

Na matematičkom natjecanju zadana su $4$ teška i $8$ laganih zadataka. Na natjecanju sudjeluje $n$ učenika, a svaki je učenik ispravno riješio točno $11$ od $12$ zadataka.

Za svaki par teškog i laganog zadatka određen je broj učenika koji su ispravno riješili oba zadatka i zbroj svih tih $32$ brojeva je $256$. Odredi $n$.

Dan je jednakokračni pravokutni trokut čije su katete duljine $10$. Odredi najveću moguću površinu pravokutnika čija jedna stranica leži na hipotenuzi, a po jedan vrh na katetama danog trokuta.

Neka su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ rješenja jednadžbe $x^3 - 2x + 2 = 0$. Odredi $$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 1}{c - 1}.$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(m, k)$ za koje vrijedi $$20m = k(m - 15k)?$$

Na kružnici $k$ nalaze se točke $A$ i $B$, a na manjem luku $\widehat{AB}$ točka $P$. Neka su $Q$ i $R$ točke na $k$, različite od $P$, takve da je $|AP| = |AQ|$ i $|BP| = |BR|$. Neka je $T$ sjecište pravaca $AR$ i $BQ$. Dokaži da su pravci $PT$ i $AB$ međusobno okomiti.

Polja ploče $2 \times 50$ potrebno je obojati u dvije boje, crvenu i plavu, tako da budu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• na ploči se pojavljuju obje boje
• uklanjanjem svih crvenih polja ploča ostaje povezana
• uklanjanjem svih plavih polja ploča ostaje povezana.

Ploča je povezana ako se od svakog polja može doći do svakog drugog, prelazeći u svakom koraku s polja na njemu susjedno polje. Polja su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka je $p$ prost broj. Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$p(a - 2) = a(b - 1).$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je omjer imaginarnog dijela pete potencije broja $z$ i pete potencije imaginarnog dijela broja $z$ najmanji mogući.

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ pozitivnih realnih brojeva koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} 3\lfloor x \rfloor - \{y\} + \{z\} &= 20.3 \\ 3\lfloor y \rfloor + 5\lfloor z \rfloor - \{x\} &= 15.1 \\ \{y\} + \{z\} &= 0.9. \end{aligned}$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Npr. ako je $t = 15.1$, onda je $\lfloor t \rfloor = 15$ i $\{t\} = 0.1$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AC| > |AB|$, a točka $O$ je središte opisane kružnice. Simetrala kuta $\measuredangle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pravac okomit na pravac $AD$ koji prolazi kroz točku $B$ siječe pravac $AO$ u točki $E$.

Dokaži da točke $A$, $B$, $D$ i $E$ leže na istoj kružnici.