Search

Let $a,b,c$ be real numbers. Consider the quadratic equation in $\cos x$:

$$a\cos^{2}x+b\cos x+c=0.$$

Using the numbers $a,b,c,$ form a quadratic equation in $\cos 2x$, whose roots are the same as those of the original equation. Compare the equations in $\cos x$ and $\cos 2x$ for $a=4,b=2,c=-1$.

Solve the system of equations: $$\begin{aligned} x + y + z &= a \\ x^2 + y^2 + z^2 &= b^2 \\ xy &= z^2 \end{aligned}$$ where $a$ and $b$ are constants. Give the conditions that $a$ and $b$ must satisfy so that $x, y, z$ (the solutions of the system) are distinct positive numbers.

Find all natural numbers $x$ such that the product of their digits (in decimal notation) is equal to $x^2 - 10x - 22$.

Consider the system of equations $$\begin{aligned} ax_1^2 + bx_1 + c &= x_2 \\ ax_2^2 + bx_2 + c &= x_3 \\ &\vdots \\ ax_{n-1}^2 + bx_{n-1} + c &= x_n \\ ax_n^2 + bx_n + c &= x_1, \end{aligned}$$ with unknowns $x_1, x_2, \ldots, x_n$, where $a, b, c$ are real and $a \neq 0$. Let $\Delta = (b-1)^2 - 4ac$. Prove that for this system

(a) if $\Delta < 0$, there is no solution,

(b) if $\Delta = 0$, there is exactly one solution,

(c) if $\Delta > 0$, there is more than one solution.

Let $a, b, c$ be real numbers such that for every two of the equations $$x^2 + ax + b = 0, \quad x^2 + bx + c = 0, \quad x^2 + cx + a = 0$$ there is exactly one real number satisfying both of them. Determine all the possible values of $a^2 + b^2 + c^2$.

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

Neka je $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$. Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a, D, P, S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi, $a \neq 0$. Ako je $x_1$ jedno rješenje jednadžbe $$ax^2 + bx + c = 0$$ i $x_2$ jedno rješenje jednadžbe $$-ax^2 + bx + c = 0,$$ dokažite da je tada jedno rješenje $x_3$ jednadžbe $$\frac{a}{2}x^2 + bx + c = 0,$$ između $x_1$ i $x_2$, tj. $x_1 \leq x_3 \leq x_2$ ili $x_2 \leq x_3 \leq x_1$.

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$4x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 9 = 0,$$ gdje je s $\lfloor x \rfloor$ označen najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ međusobno različiti realni brojevi. Ako su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10cx - 11d = 0$, a $c$ i $d$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10ax - 11b = 0$, odredi zbroj $a + b + c + d$.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ realni brojevi takvi da vrijedi

$$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + x + 3y + 5z + 7w = 4,$$

odredi najveću moguću vrijednost izraza $x + y + z + w$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su oba rješenja kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b + 1 = 0$ prirodni brojevi. Dokaži da je $a^2 + b^2$ složen prirodni broj.

Koeficijenti $a$, $b$ i $c$ kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$ tri su uzastopna prirodna broja (u nekom od šest mogućih poredaka), a njezina su rješenja realni brojevi. Dokaži da je jedno od rješenja broj $-1$.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Baka Jagoda prodaje trešnje te je uočila da postoji linearna ovisnost između cijene jednog kilograma trešanja i količine prodanih trešanja u danu: svakim povećanjem cijene za 1 € po kilogramu bi u danu prodala 3 kilograma trešanja manje. Najveći iznos od prodaje trešanja bi ostvarila kada bi ih prodavala po cijeni od 3.6 € po kilogramu. Jednog dana unuka Višnja zamijenila je baku na tržnici, sama odredila cijenu kilograma trešanja i prodala trešnje za 18.6 €. Po kojoj je cijeni Višnja mogla prodavati trešnje?

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?

Odredi sve prirodne brojeve $k$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 63x + k = 0$ prosti brojevi.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ i proste brojeve $p$ takve da je $$6n^2 - (2p + 9)n + p + 3 = 0.$$

Odredi sve parove $\{a, b\}$ različitih realnih brojeva takve da jednadžbe $$x^2 + ax + b = 0 \quad \text{i} \quad x^2 + bx + a = 0$$ imaju barem jedno zajedničko rješenje u skupu realnih brojeva.

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Grafovi funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 9x - 20$ i $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$ nacrtani su u koordinatnoj ravnini. Odredi najveću moguću površinu pravokutnog trokuta $ABC$ s pravim kutom u vrhu $C$ smještenog tako da su mu vrhovi $A$ i $C$ na osi apscisa, vrh $A$ pripada grafu funkcije $f$, a vrh $B$ grafu funkcije $g$ i pritom je apscisa točke $B$ manja od apscise točke $A$, a njena ordinata veća od ordinate točke $A$.

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 19x + r = 0$ kubovi cijelih brojeva.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba

$$x^2 - 3nx + n + 3 = 0$$

ima cjelobrojna rješenja.

Odredi vrijednost realnog parametra $p$ tako da rješenja jednadžbe

$$(p - 3)x^2 + (p^2 + 1)x - 11p + 18 = 0$$

budu duljine kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine $\sqrt{17}$.

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$.

Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x = -1$, a jedna nultočka joj je $x = 3$. Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x = 3$, a jedna nultočka joj je $x = -1$.

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Neka su $a, b \in \mathbb{R}$. Rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + 1 = 0$ su realna. Ako svako od tih rješenja umanjimo za 1, dobit ćemo rješenja kvadratne jednadžbe $bx^2 + x + a = 0$. Odredi sve takve realne brojeve $a, b$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Neka je $a$ realan broj. Ako jednadžba $x^2 - ax + a = 0$ ima dva (ne nužno različita) realna rješenja $x_1$ i $x_2$, dokaži da vrijedi $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2(x_1 + x_2)$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Odredi sve vrijednosti realnog parametra $m$ za koje jednadžba $x^{2} + (1 - m)x + m + 1 = 0$ ima dva različita realna rješenja pri čemu je veće rješenje manje od dvostrukog manjeg rješenja.

Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_n + 1, \quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2} p_n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi. Poznato je da parabola $y = ax^2 + b$ siječe krivulju $y = x + \dfrac{1}{x}$ u točno tri točke. Dokaži da vrijedi $3ab < 1$.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$(7a - b)^2 = 2(a - 1)b^2.$$

Dani su cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$. Dokaži da je broj parova $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $x^2 + ax + b = y^2 + cy + d$ beskonačan ako i samo ako je $a^2 - 4b = c^2 - 4d$.