Search

Neka su $k$ i $\ell$ prirodni brojevi. Odredi najmanji prirodan broj $m$ za koji je moguće podijeliti kvadrat $ABCD$ na $m$ pravokutnika stranica paralelnih sa stranicama kvadrata tako da svaki pravac paralelan s $AB$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $k$ pravokutnika, a svaki pravac paralelan s $BC$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $\ell$ pravokutnika.

An arbitrary point $M$ is selected in the interior of the segment $AB$. The squares $AMCD$ and $MBEF$ are constructed on the same side of $AB$, with the segments $AM$ and $MB$ as their respective bases. The circles circumscribed about these squares, with centers $P$ and $Q$, intersect at $M$ and also at another point $N$. Let $N'$ denote the point of intersection of the straight lines $AF$ and $BC$.

(a) Prove that the points $N$ and $N'$ coincide.

(b) Prove that the straight lines $MN$ pass through a fixed point $S$ independent of the choice of $M$.

(c) Find the locus of the midpoints of the segments $PQ$ as $M$ varies between $A$ and $B$.

Equilateral triangles $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ are constructed inside the square $ABCD$. Prove that the midpoints of the four segments $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ and the midpoints of the eight segments $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$ are the twelve vertices of a regular dodecagon.

Let $S$ be a square with sides of length 100, and let $L$ be a path within $S$ which does not meet itself and which is composed of line segments $A_0A_1, A_1A_2, \ldots, A_{n-1}A_n$ with $A_0 \neq A_n$. Suppose that for every point $P$ of the boundary of $S$ there is a point of $L$ at a distance from $P$ not greater than $1/2$. Prove that there are two points $X$ and $Y$ in $L$ such that the distance between $X$ and $Y$ is not greater than 1, and the length of that part of $L$ which lies between $X$ and $Y$ is not smaller than 198.

U pravokutni trokut $ABC$ s duljinom hipotenuze $c$ i pripadnom visinom $h$ upisan je kvadrat $DEFG$ sa dva susjedna vrha $D, E$ na hipotenuzi $\overline{AB}$ i po jednim vrhom $F$ i $G$ na katetama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Izračunajte duljinu $x$ stranice tog kvadrata i dokažite jednakost $|AD| \cdot |BE| = x^2$.

Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.

Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $|MP| - |MS|$.

Vrhovima $B$, $C$ i $D$ kvadrata $ABCD$ prolaze, redom, međusobno paralelni pravci $b$, $c$ i $d$. Ako je udaljenost pravaca $b$ i $c$ jednaka 5, a udaljenost pravaca $b$ i $d$ jednaka 7, kolika može biti površina kvadrata $ABCD$?

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $\measuredangle BMA = \measuredangle NMC = 60°$. Odredi kut $\measuredangle MAN$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Oko kružnice su na bilo koji način opisani trokut i kvadrat. Dokažite da je duljina dijela opsega kvadrata unutar trokuta veća od dijela izvan njega.

Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ izabrane su točke $E$ i $F$, tim redom, takve da je $|BE| = |BF|$. Neka je $\overline{BN}$ visina trokuta $BCE$. Dokažite da je trokut $DNF$ pravokutan.

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruirani su kvadrati $ACXE$ i $CBDY$. Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$.

U unutrašnjosti kvadrata $ABCD$ stranice duljine $20$, dane su točke $T_i$, $i = 1, 2, \ldots, 2000$, tako da nikoje tri točke u skupu $S = \{A, B, C, D\} \cup \{T_i : i = 1, 2, \ldots, 2000\}$ nisu kolinearne. Dokažite da postoji barem jedan trokut, s vrhovima u skupu $S$, površine manje od $\dfrac{1}{10}$.

Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1, B_1, C_1, D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM, BM, CM, DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1| \cdot |C_1D_1| = |A_1D_1| \cdot |B_1C_1|.$$

Neka su stepenice dio kvadratne ploče dimenzija $111 \times 111$ koji se sastoji od prvih $k$ polja u $k$-tom retku za $k = 1, 2, \ldots, 111$. Mogu li se stepenice podijeliti na 111 kvadrata?

(Kvadrati se trebaju sastojati od jediničnih polja i ne moraju biti sukladni.)

Unutar kružnice $k$ polumjera $20$ nalaze se kružnica $k_1$ polumjera $5$ i kvadrat $ABCD$. Pritom se kružnice $k$ i $k_1$ diraju u točki $P$, točke $A$ i $B$ leže na kružnici $k$, a pravac $CD$ dira kružnicu $k_1$ u točki $Q$ takvoj da je $\overline{PQ}$ promjer te kružnice.

Odredi duljinu stranice kvadrata $ABCD$.

Dana je žica duljine $10$ m koju treba presjeći na dva dijela, te od jednog dijela napraviti kvadrat, a od drugog jednakostranični trokut. Na kojem mjestu treba presjeći žicu da bi ukupna površina kvadrata i jednakostraničnog trokuta bila što manja?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Kvadrat $ABCD$ ima stranicu duljine 1. Neka je točka $X$ na stranici $\overline{AB}$, a točka $Y$ na stranici $\overline{AD}$ tako da je $\measuredangle CXY = 90°$. Odredi položaj točke $X$ za koji je površina trokuta $CDY$ najmanja moguća.

U kvadrat $ABCD$ upisan je jednakostranični trokut $CEF$ tako da se točka $E$ nalazi na stranici $\overline{AD}$, a točka $F$ na stranici $\overline{AB}$. Neka je $G$ polovište dužine $\overline{CE}$. Dokaži da je trokut $ABG$ jednakostraničan.

Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $\widehat{AB}$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}?$$

Na kraćem luku $\widehat{CD}$ kružnice opisane kvadratu $ABCD$ nalazi se točka $M$. Neka su $P$ i $Q$ redom sjecišta pravca $AM$ s $\overline{BD}$ i $\overline{CD}$ te neka su $R$ i $S$ redom sjecišta pravca $BM$ s $\overline{AC}$ i $\overline{CD}$. Dokaži da su dužine $\overline{PS}$ i $\overline{QR}$ međusobno okomite.

U ravnini kvadrata $ABCD$, ali izvan njega, nalazi se točka $P$. Ako je $$|PA| = \sqrt{5}, \quad |PB| = \sqrt{26} \quad \text{i} \quad |PD| = \sqrt{20},$$ odredi duljinu stranice kvadrata.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

U ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1,0)$, $T_2 = (0,1)$, $T_3 = (-1,0)$ i $T_4 = (0,-1)$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ polovište dužine $\overline{T_n T_{n+1}}$. Uz pretpostavku da niz točaka $T_n$ $(n \to \infty)$ ima graničnu točku, nađite koordinate te točke.

Papir oblika kvadrata s vrhovima $F$, $B$, $H$ i $D$ ima stranicu duljine $a$. Na njegovim stranicama $\overline{FB}$ i $\overline{BH}$, označene su točke $G$ i $A$, odnosno $E$ i $C$, takve da je $|FG| = |GA| = |AB|$ i $|BE| = |EC| = |CH|$. Papir je presavinut po dužinama $\overline{DG}$, $\overline{DA}$, $\overline{DC}$ i $\overline{AC}$ tako da se točka $G$ poklopi s $B$, a točke $F$ i $H$ s točkom $E$. Odredite volumen tako nastale trostrane piramide $ABCD$.

Nad stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL$, $BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajedničku stranicu).

a) Ako je $D$ točka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokaži da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.

b) Dokaži da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{KN}$ i središta kvadrata $ABKL$, $BCMN$ vrhovi kvadrata.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Jedna stranica kvadrata leži na pravcu $y = 2x - 17$, a preostala dva vrha leže na paraboli $y = x^2$. Odredi površinu tog kvadrata.