Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Pravac koji prolazi točkom $Q$ siječe kružnice $k_1$ i $k_2$ još u točkama $R$ i $S$, redom. Pravac $SP$ siječe kružnicu $k_1$ još u točki $M$, a pravac $RP$ siječe kružnicu $k_2$ još u točki $N$. Neka je $T$ sjecište pravaca $RM$ i $SN$.

Dokaži da je trokut $TMN$ jednakostraničan ako i samo ako je pravac $MN$ zajednička tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$.

Dana je ploča dimenzija $2020 \times 2022$. Za dva polja te ploče kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu ili se nalaze na početku i kraju istog retka ili stupca. Dakle, svako polje ima točno četiri susjedna polja.

Viktor u svakom koraku bira jedno polje ploče i na ploču postavlja pet žetona: po jedan na odabrano polje i na svako polje susjedno odabranom. Nakon konačnog broja takvih koraka, na svakom polju nalazi se točno $d$ žetona.

Odredi najmanji mogući $d$.

Za realni broj $c \neq 0$ i prirodni broj $n$, neka je $a_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + cx)^n$, a $b_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + 2cx)^n$. Poznato je da su $a_1$, $a_3$ i $a_4$ uzastopni članovi geometrijskog niza, te da su $b_1$, $2b_2$ i $2b_3$ uzastopni članovi aritmetičkog niza. Odredi brojeve $c$ i $n$.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $f(a) \neq b$ vrijedi

$$f(a) - b \mid f(a)^2 + 2b + 1 - f(b)^2.$$

Koristeći niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definirana su dva nova niza, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ i $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tako da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.$$

Ako je niz $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aritmetički, dokaži da je $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ geometrijski niz.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x) - y^2) = yf(x^2).$$

Za prirodan broj $n$ neka je $T(n)$ broj uređenih trojki prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ čiji je opseg jednak $n$.

a) Dokaži da je $T(2024) = T(2021)$.

b) Dokaži da je $T(2023) > T(2020)$.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojemu je $|AB| > |AC|$, točka $I$ središte njemu upisane kružnice, a $P$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $K$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji sadrži točku $A$. Dokaži da vrijedi $\measuredangle BIP + \measuredangle CIK = 180°$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Dokaži da je broj $$102^{102} - 100^{100}$$ djeljiv sa $101^2$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x)) + f(y) = 2y + f(x - y).$$

Neka je $n$ prirodan broj. Za prirodni broj $m$, neka $f_{m}(n)$ označava broj djelitelja broja $n^{m+1}$ koji su veći od $n^m$. Dokaži da postoji prirodni broj $K$ takav da za svaki $m \geqslant K$ vrijedi $f_{m}(n) = f_{m+1}(n)$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Dana je ploča dimenzija $9 \times 9$ čija su sva polja bijela. Odredi najveći broj polja koja je moguće obojiti u crveno tako da svaki dio ploče dimenzija $2 \times 2$ sadržava najviše dva crvena polja.

Neka je $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ nekonstantan aritmetički niz realnih brojeva takav da postoji prirodni broj $r$ za koji je $$a_{r+1} + a_{r+2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{3r+2}.$$ Dokaži da niti jedan član tog niza nije jednak 0.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$. Kružnica sa središtem u $C$ polumjera $|CD|$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $E$ i $F$. Pravac $EF$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $P$. Dokaži da je $P$ polovište dužine $\overline{CD}$.

Za uređenu trojku prirodnih brojeva $(a, b, c)$ kažemo da je morska ako su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti, te je broj $ac$ djeljiv brojevima $a + b$ i $b + c$. Dokaži da

a) za svaki prirodni broj $d > 1$ postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = d$.

b) ne postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = 1$.

Napomena. $M(a, b, c)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $a$, $b$ i $c$.

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \ldots + a_1x + a_0$ takvih da je $f(2026) = 0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $$(f(x + 1) - f(x)) \cdot g(x) = f(x)$$ vrijedi za svaki realan broj $x$.

Za arhipelag od 2026 otoka kažemo da je dobro povezan ako među svakih pet različitih otoka, postoje tri takva da između svaka dva od njih postoji dvosmjerna brodska linija. Odredi najveći prirodni broj $N$ takav da u svakom dobro povezanom arhipelagu postoji niz od barem $N$ različitih otoka takav da su svaka dva uzastopna, te prvi i posljednji otok u nizu povezani brodskom linijom.

Odredi argument kompleksnog broja $z$ ako vrijedi

$$\mathrm{Re} \frac{1}{z} = \mathrm{Im} \frac{1}{z} = 2020.$$

Zadan je niz $(a_n)$ takav da je $a_0 = 1$, $a_1 = 4$ i

$$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2},$$

za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$.

Dokaži da su svi članovi niza $(a_n)$ kvadrati prirodnih brojeva.

Igrača kockica bačena je triput zaredom. Odredi vjerojatnost da je pri svakom bacanju (nakon prvog) pao broj koji nije manji od prethodnog.

Odredi skup svih vrijednosti koje postiže funkcija $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$$f(x) = \frac{2020x}{x^2 + x + 1}.$$

Odredi zbroj svih prirodnih brojeva $n$ manjih od $1000$ za koje je $2^n + 1$ djeljivo s $11$.

Odredi točke $A$ i $B$ na paraboli $y^2 = x$ tako da točka $(2,1)$ pripada dužini $\overline{AB}$, a da polovište dužine $\overline{AB}$ bude što je moguće bliže osi $y$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ koji imaju točno $12$ pozitivnih djelitelja

$$1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{12} = n$$

za koje vrijedi $d_4 = 5$ i $d_5^2 + 1 = d_7$.

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Gumena lopta bačena je s visine od $200$ metara. Svaki put nakon što se odbije od površine, dosegne $4/5$ prethodne visine: nakon prvog odbijanja popne se na $160$ metara, nakon drugog odbijanja na $128$ metara, itd. Koliko iznosi ukupna udaljenost koju lopta prijeđe dok se ne zaustavi?

Zadana je elipsa s jednadžbom $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ i hiperbola kojoj su žarišta u glavnim tjemenima te elipse, a tjemena u žarištima elipse. Odredi sjecišta hiperbole i elipse.

Rekurzivno je zadan niz: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 3,$$ $$a_n = (n + 1)a_{n-1} - na_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $a_n$ djeljivo s $9$.

Odredi posljednje tri znamenke broja $21^{2021}$.

Svaki član niza $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini geometrijske i aritmetičke sredine dvaju njemu susjednih članova.

Ako je $a_1 = \dfrac{1}{505}$ i $a_{505} = 505$, odredi $a_{1010}$.

Figura postavljena na oplošje kocke $K_n$ dimenzija $n \times n \times n$ na strani na kojoj se nalazi napada sva polja u retku i stupcu u kojima se nalazi, poput šahovskog topa, ali i polja na ostalim stranama u produžetcima tih redaka/stupaca. (Na slici su označena vidljiva polja na kocki $K_4$ koja postavljena figura napada.)

Koliko najviše figura možemo postaviti na oplošje kocke $K_{50}$ tako da se međusobno ne napadaju?

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $z^2 = (1 + i) \cdot \overline{z}$.

Pet međusobno različitih realnih brojeva $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ uzastopni su članovi aritmetičkog niza, a njihov zbroj iznosi $50$. Odredi te brojeve ako su brojevi $a_1$, $a_2$ i $a_5$ uzastopni članovi geometrijskog niza.

Za kompleksne brojeve $p$ i $q$ vrijedi $p + q = 5$ i $p^2 + q^2 = 9$. Dokaži da je $p^n + q^n$ neparan cijeli broj za sve $n \in \mathbb{N}$.

Kružnica prolazi točkama $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, a njeno središte pripada pravcu $y = 2x - 6$. Odredi sinus obodnog kuta nad manjim lukom $\widehat{AB}$ te kružnice.

Od $27$ sukladnih bijelih kockica sastavljena je kocka te su sve njene vanjske strane obojene crno.

(a) Slučajno je odabrana jedna od tih kockica i postavljena na stol na slučajno odabranu stranu. Kolika je vjerojatnost da svih pet vidljivih strana kockice bude bijele boje?

(b) Na stolu se nalazi kockica kojoj je svih pet vidljivih strana bijele boje. Kolika je vjerojatnost da je i šesta strana te kockice bijela?

Izračunaj $$\sum_{k=1}^{1011} \binom{2022}{2k-1}2^{k-1}$$

U ovisnosti o prostom broju $p$ odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$m^2 = n^2 - 4np + 3p^2$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$13^{n+1} + 14^{2n-1}$$ djeljiv sa $183$.

Dokaži da je $$\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024} + \frac{3^{2024}}{\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024}}$$ prirodan broj.

Članovi niza $x_1, x_2, x_3, \ldots$ dobiveni su množenjem odgovarajućih članova dvaju aritmetičkih nizova. Prva tri člana tako nastalog niza su $x_1 = 1440$, $x_2 = 1716$ i $x_3 = 1848$. Odredi osmi član tog niza.

U nekoj školi učenici mogu učiti dva klasična jezika: latinski i grčki. Od $100$ učenika, njih $50$ uči latinski, $40$ grčki, a $20$ ih uči oba jezika. Ako slučajno odaberemo dva učenika, kolika je vjerojatnost da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki?

U trokut $ABC$ površine $1$ upisan je pravokutnik $PQRS$ tako da točke $P$ i $Q$ leže na stranici $\overline{AB}$, točka $R$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $S$ na stranici $\overline{AC}$. Odredi najveći mogući iznos površine pravokutnika $PQRS$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, p)$ gdje je $p$ prost, a $x$ i $y$ prirodni brojevi za koje vrijedi $$p^x - 1 = y^3.$$