Search

Neka su $n$, $k$, $M$ i $a_1, a_2, \ldots, a_n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = k \quad \text{i} \quad a_1a_2\cdots a_n = M.$$

Ako je $M > 1$, dokaži da ne postoji pozitivan realni broj $x$ takav da vrijedi

$$M(x + 1)^k = (x + a_1)(x + a_2)\cdots(x + a_n).$$

Neka je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funkcija sa svojstvima:

(a) Postoji realan broj $M$ takav da je $|f(x)| \leq M$, za sve $x \in \mathbb{R}$.

(b) Za svaki realan broj $x$ vrijedi $$f\left(x + \frac{1}{2}\right) + f\left(x + \frac{1}{3}\right) = f(x) + f\left(x + \frac{5}{6}\right).$$

Pokaži da je funkcija $f$ periodična, odnosno da postoji pozitivan realan broj $T$ takav da je $f(x + T) = f(x)$ za sve $x \in \mathbb{R}$.

For what real values of $x$ is

$$\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A,$$

given (a) $A=\sqrt{2}$, (b) $A=1$, (c) $A=2$, where only non-negative real numbers are admitted for square roots?

Let $a,b,c$ be real numbers. Consider the quadratic equation in $\cos x$:

$$a\cos^{2}x+b\cos x+c=0.$$

Using the numbers $a,b,c,$ form a quadratic equation in $\cos 2x$, whose roots are the same as those of the original equation. Compare the equations in $\cos x$ and $\cos 2x$ for $a=4,b=2,c=-1$.

Solve the equation $\cos^n x - \sin^n x = 1$, where $n$ is a natural number.

Find the smallest natural number $n$ which has the following properties:

(a) Its decimal representation has 6 as the last digit.

(b) If the last digit 6 is erased and placed in front of the remaining digits, the resulting number is four times as large as the original number $n$.

Solve the equation $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.

Find all real roots of the equation $$\sqrt{x^2 - p} + 2\sqrt{x^2 - 1} = x,$$ where $p$ is a real parameter.

Consider the sequence $\{c_n\}$, where $$\begin{aligned} c_1 &= a_1 + a_2 + \cdots + a_8 \\ c_2 &= a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_8^2 \\ &\cdots \\ c_n &= a_1^n + a_2^n + \cdots + a_8^n \\ &\cdots \end{aligned}$$ in which $a_1, a_2, \ldots, a_8$ are real numbers not all equal to zero. Suppose that an infinite number of terms of the sequence $\{c_n\}$ are equal to zero. Find all natural numbers $n$ for which $c_n = 0$.

In a sports contest, there were $m$ medals awarded on $n$ successive days ($n > 1$). On the first day, one medal and $1/7$ of the remaining $m - 1$ medals were awarded. On the second day, two medals and $1/7$ of the now remaining medals were awarded; and so on. On the $n$-th and last day, the remaining $n$ medals were awarded. How many days did the contest last, and how many medals were awarded altogether?

Let $a_1, a_2, \cdots, a_n$ be real constants, $x$ a real variable, and

$$f(x) = \cos(a_1 + x) + \frac{1}{2}\cos(a_2 + x) + \frac{1}{4}\cos(a_3 + x) + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n + x).$$

Given that $f(x_1) = f(x_2) = 0$, prove that $x_2 - x_1 = m\pi$ for some integer $m$.

Let $P_1(x) = x^2 - 2$ and $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ for $j = 2, 3, \cdots$. Show that, for any positive integer $n$, the roots of the equation $P_n(x) = x$ are real and distinct.

Let $a, b, c$ and $d$ be odd integers such that $0 < a < b < c < d$ and $ad = bc$. Prove that if $a + d = 2^k$ and $b + c = 2^m$ for some integers $k$ and $m$, then $a = 1$.

Find all pairs $(a, b)$ of integers $a, b \geq 1$ that satisfy the equation

$$a^{b^2} = b^a.$$

Prove that for any pair of positive integers $k$ and $n$, there exist $k$ positive integers $m_1, m_2, \ldots, m_k$ (not necessarily different) such that

$$1 + \frac{2^k - 1}{n} = \left(1 + \frac{1}{m_1}\right)\left(1 + \frac{1}{m_2}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{m_k}\right).$$

The equation $$(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)$$ is written on the board, with 2016 linear factors on each side. What is the least possible value of $k$ for which it is possible to erase exactly $k$ of these 4032 linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

Find all pairs $(k, n)$ of positive integers such that $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).$$

A deck of $n > 1$ cards is given. A positive integer is written on each card. The deck has the property that the arithmetic mean of the numbers on each pair of cards is also the geometric mean of the numbers on some collection of one or more cards.

For which $n$ does it follow that the numbers on the cards are all equal?

Find all pairs $(n,p)$ of positive integers such that $p$ is prime and

$$1 + 2 + \cdots + n = 3 \cdot (1^2 + 2^2 + \cdots + p^2).$$

Let $k$ be a positive integer and $a_1, a_2, \ldots, a_k$ be nonnegative real numbers. Initially, there is a sequence of $n \geq k$ zeros written on a blackboard. At each step, Nicole chooses $k$ consecutive numbers written on the blackboard and increases the first number by $a_1$, the second one by $a_2$, and so on, until she increases the $k$-th one by $a_k$. After a positive number of steps, Nicole managed to make all the numbers on the blackboard equal. Prove that all the nonzero numbers among $a_1, a_2, \ldots, a_k$ are equal.

Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4}.$$

Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2(a_1 + a_2)} + \frac{a_2}{a_3(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_n}{a_1(a_n + a_1)} = \frac{a_2}{a_1(a_1 + a_2)} + \frac{a_3}{a_2(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_1}{a_n(a_n + a_1)}.$$

Nadite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} - 2\sqrt{2x + 3 - 4\sqrt{2x - 1}} + 3\sqrt{2x + 8 - 6\sqrt{2x - 1}} = 4.$$

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Nadite sve trojke $(x, y, z)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 576.$$ Naputak: Izraz s lijeve strane jednadžbe rastavite na faktore.

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.$$ Dokaži da je $a + \frac{1}{b} = -abc$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Odredi $x_{1006}$ ako je

$$\frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 3} = \frac{x_3}{x_3 + 5} = \dots = \frac{x_{1006}}{x_{1006} + 2011},$$

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{1006} = 503^2.$$

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom. U trenutku kad prednji kraj vlaka dođe do njih, Ana krene stalnom brzinom u smjeru kretanja vlaka, a Vanja istom brzinom u suprotnom smjeru. Svaka od njih se zaustavlja u trenutku kad stražnji kraj vlaka prođe kraj nje. Ana je ukupno prošla 45 metara, a Vanja 30 metara. Koliko je dugačak vlak?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||x - 2| - x + a| = x + 3$$ ima točno dva realna rješenja.

Realni brojevi $x$, $y$ i $z$ zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x^3 &= 2y^3 + y - 2\\ y^3 &= 2z^3 + z - 2\\ z^3 &= 2x^3 + x - 2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x = y = z = 1$.

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Neka su $a, b, c, d$ međusobno različiti cijeli brojevi takvi da vrijedi $$(a - 2024)(b - 2024)(c - 2024)(d - 2024) = 9.$$ Odredi $a + b + c + d$.

Dokaži da ne postoje pozitivni realni brojevi $x$ i $y$ za koje vrijedi

$$(x^3 + y^3)(x^2 + y^2) = 2(x + y) = 2.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$m(m - n)^2(m + n) = m^4 + mn^3 - 99n.$$

Realni brojevi $a$, $b$ i $c$ različiti su od nule i zadovoljavaju jednakosti $$a^2 + a = b^2,$$ $$b^2 + b = c^2,$$ $$c^2 + c = a^2.$$ Dokaži da vrijedi $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

Dokaži da jednadžba $$(n - 20)^3 + 2n^3 = (n + 20)^3$$ nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $$\frac{xy}{4y - 3x} = 20,$$ $$\frac{xz}{2x - 3z} = 15,$$ $$\frac{zy}{4y - 5z} = 12.$$

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Ante i Matea treniraju plivanje. Na jednom od zajedničkih treninga istovremeno su krenuli sa suprotnih strana bazena. Do trenutka kad su se prvi puta istovremeno našli na istom rubu bazena, zajedno su preplivali devet duljina bazena. Od tada do sljedećeg trenutka kad su se ponovno našli istovremeno na istom rubu bazena zajedno su preplivali dodatnih $855$ metara. Ako oboje plivaju stalnim brzinama, kolika je duljina bazena u kojem treniraju?

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$

U zavisnosti o parametru $a$ nađite rješenja jednadžbe $$x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0.$$ Za koje realne brojeve $a$ su sva rješenja realna?

Neka je $z$ kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost $z^8 = \bar{z}$. Koje vrijednosti može poprimiti broj $z^{2001}$?