Search

Za dani prirodni broj $n$ neka je $a$ najveći prirodni broj za koji je broj $5^n - 3^n$ djeljiv s $2^a$, te neka je $b$ najveći prirodni broj takav da je $2^b \leqslant n$. Dokaži da je $a \leqslant b + 3$.

Za prirodan broj $n$ promatramo skup $$S = \{0, 1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3 + \dots + (n-1)\}.$$

a) Ako je $n$ potencija broja $2$, dokaži da svi elementi od $S$ daju različite ostatke pri dijeljenju s $n$.

b) Ako $n$ nije potencija broja $2$, dokaži da postoje dva elementa od $S$ koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$.

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

U ovisnosti o prirodnom broju $k$, odredi najmanji realni broj $D_k$ takav da je

$$(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 \leqslant D_k$$

za sve nenegativne realne brojeve $a, b, c, d$ za koje je $a^k + b^k + c^k + d^k = 4$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$2^m = 7n^2 + 1.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da postoji prirodni broj $k$ takav da je broj

$$51^k - 17$$

djeljiv brojem $2^n$.

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^5 + a^4 = 7^b - 1.$$

Neka je $x$ prirodan broj. Pretpostavimo da postoje dva relativno prosta prirodna broja $m$ i $n$ za koje su brojevi $x^3 + mx$ i $x^3 + nx$ kvadrati prirodnih brojeva. Dokaži da postoji beskonačan skup prirodnih brojeva $S$ takav da su svi članovi skupa $S$ u parovima relativno prosti, te je $x^3 + kx$ kvadrat prirodnog broja za svaki $k \in S$.

Neka su $k$ i $n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $k \leq 2n$. Dokaži da je

$$2^{2n+2} + 2^{k+2} + 1$$

kvadrat prirodnog broja ako i samo ako vrijedi $k = n$.

Leon ima $99$ praznih vreća i za svaki cijeli broj $n$ neograničenu količinu kuglica mase $3^n$.

Leon je rasporedio u vreće konačno mnogo kuglica tako da nijedna vreća ne bude prazna i da masa kuglica u svakoj vreći bude ista. Pritom nije iskoristio više od $k$ kuglica iste mase. Koja je najmanja moguća vrijednost $k$?

Solve the equation $\cos^n x - \sin^n x = 1$, where $n$ is a natural number.

(a) Find all positive integers $n$ for which $2^n - 1$ is divisible by 7.

(b) Prove that there is no positive integer $n$ for which $2^n + 1$ is divisible by 7.

Prove that the set of integers of the form $2^k - 3$ $(k = 2, 3, \ldots)$ contains an infinite subset in which every two members are relatively prime.

When $4444^{4444}$ is written in decimal notation, the sum of its digits is $A$. Let $B$ be the sum of the digits of $A$. Find the sum of the digits of $B$. ($A$ and $B$ are written in decimal notation.)

A sequence $\{u_n\}$ is defined by $$u_0 = 2, \quad u_1 = 5/2, \quad u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2 - 2) - u_1 \text{ for } n = 1, 2, \cdots$$

Prove that for positive integers $n$, $$[u_n] = 2^{[2^n - (-1)^n]/3}$$ where $[x]$ denotes the greatest integer $\leq x$.

$m$ and $n$ are natural numbers with $1 \leq m < n$. In their decimal representations, the last three digits of $1978^m$ are equal, respectively, to the last three digits of $1978^n$. Find $m$ and $n$ such that $m + n$ has its least value.

Given a set $M$ of 1985 distinct positive integers, none of which has a prime divisor greater than 26. Prove that $M$ contains at least one subset of four distinct elements whose product is the fourth power of an integer.

Prove that for each positive integer $n$ there exist $n$ consecutive positive integers none of which is an integral power of a prime number.

Determine all integers $n > 1$ such that

$$\frac{2^n + 1}{n^2}$$

is an integer.

Let $n > 6$ be an integer and $a_1, a_2, \ldots, a_k$ be all the natural numbers less than $n$ and relatively prime to $n$. If

$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \cdots = a_k - a_{k-1} > 0,$$

prove that $n$ must be either a prime number or a power of 2.

There are $n$ lamps $L_0, \ldots, L_{n-1}$ in a circle ($n > 1$), where we denote $L_{n+k} = L_k$. (A lamp at all times is either on or off.) Perform steps $s_0, s_1, \ldots$ as follows: at step $s_i$, if $L_{i-1}$ is lit, switch $L_i$ from on to off or vice versa, otherwise do nothing. Initially all lamps are on. Show that:

(a) There is a positive integer $M(n)$ such that after $M(n)$ steps all the lamps are on again;

(b) If $n = 2^k$, we can take $M(n) = n^2 - 1$;

(c) If $n = 2^k + 1$, we can take $M(n) = n^2 - n + 1$.

Find all pairs $(a, b)$ of integers $a, b \geq 1$ that satisfy the equation

$$a^{b^2} = b^a.$$

For each positive integer $n$, let $f(n)$ denote the number of ways of representing $n$ as a sum of powers of 2 with nonnegative integer exponents. Representations which differ only in the ordering of their summands are considered to be the same. For instance, $f(4) = 4$, because the number 4 can be represented in the following four ways:

$$4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.$$

Prove that, for any integer $n \geq 3$,

$$2^{n^2/4} < f(2^n) < 2^{n^2/2}.$$

For any positive integer $n$, let $d(n)$ denote the number of positive divisors of $n$ (including 1 and $n$ itself). Determine all positive integers $k$ such that $d(n^2)/d(n) = k$ for some $n$.

Determine all pairs $(x, y)$ of integers such that $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Let $\mathbb{N}$ be the set of positive integers. Determine all functions $g\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ such that $$\left(g (m) + n\right) \left(m + g (n)\right)$$ is a perfect square for all $m, n \in \mathbb{N}$.

Determine all triples $(a, b, c)$ of positive integers such that each of the numbers $$ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$$ is a power of 2.

(A power of 2 is an integer of the form $2^n$, where $n$ is a non-negative integer.)

Find all pairs $(k, n)$ of positive integers such that $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).$$

Determine all integers $k \geqslant 2$ such that for all pairs $(m, n)$ of different positive integers not greater than $k$, the number $n^{n-1} - m^{m-1}$ is not divisible by $k$.

For a nonnegative integer $n$, define $a_n$ to be the positive integer with decimal representation $$1\underbrace{0\ldots 0}_{n}2\underbrace{0\ldots 0}_{n}2\underbrace{0\ldots 0}_{n}1.$$

Prove that $a_n/3$ is always the sum of two positive perfect cubes but never the sum of two perfect squares.

Find all pairs of positive integers $(m,n)$ for which there exist relatively prime integers $a$ and $b$ greater than $1$ such that $$\frac{a^m + b^m}{a^n + b^n}$$ is an integer.

Find all pairs of positive integers $(a,b)$ such that $$a! + b! = a^b + b^a.$$

Prove that there are infinitely many positive integers $n$ such that $n^2$ written in base $4$ contains only digits $1$ and $2$.

Odredite četveroznamenkasti broj oblika $\overline{aabb}$ koji je potpuni kvadrat.

Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq x + y + z,$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k,$$ za svaki prirodan broj $k$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Odredi sve parove nenegativnih cijelih brojeva $(k, m)$ za koje vrijedi $$3m^3 - m + 21 = 3^{3k+1} - 2 \cdot 3^{2k+2} + 3^{k+3} + 3^{k+2}.$$

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ takve da vrijedi $$2^a + 2b^2 = 3^c + 67.$$

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

U decimalnom zapisu broja $2^{1997}$ ima $m$ znamenaka, a u zapisu broja $5^{1997}$ ima $n$ znamenaka. Kolika je suma $m + n$?

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je broj $3^m + 3^n + 1$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Postoje li prirodni brojevi $k$ i $m$ takvi da je $2022^k + 2022^m$ kvadrat prirodnog broja?

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva takve da je $$a^3 = b^2, \quad c^5 = d^4 \quad \text{i} \quad a - c = 9.$$