Grade 12

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$\frac{(2 + \sqrt{2})^n - (2 - \sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}$$ također prirodan.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?

Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da je $a_1 = 1$ i $a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n$ za sve $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Vita i Lovro naizmjence bacaju igraću kockicu (na čijim su stranama brojevi od $1$ do $6$). Svaki od njih zbraja brojeve koje dobije bacanjem kockice. Vita baca prva. Igra završava Vitinom pobjedom ako njezin zbroj dosegne $5$ (tj. bude $5$ ili više), a Lovrinom pobjedom ako njegov zbroj dosegne $4$. Pokaži da je vjerojatnost da Vita pobijedi veća od $0.5$.

Odredi znamenke $a, b, c \neq 0$ takve da brojevi $a$, $\overline{ba}$ i $\overline{cba}$ budu uzastopni članovi nekog geometrijskog niza.

Na koliko je načina moguće svako od šest polja u nizu obojati jednom od tri boje (crvenom, bijelom ili plavom) tako da ne postoje tri uzastopna polja obojena trima različitim bojama?

Odredi najveću moguću vrijednost realnog dijela kompleksnog broja $$(10 + 14i)z + \frac{8 - 8i}{z}$$ ako je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 2$.

Odredite zbroj koeficijenata uz sve neparne potencije od $x$ u razvoju zbroja binoma

$$\left(x + \sqrt{x^3 - 1}\right)^5 + \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right)^5,$$

gdje je $x > 1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Zadan je pravac s jednadžbom $y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{5}$. Dokažite da je udaljenost svake točke s cjelobrojnim koordinatama do zadanog pravca veća od $\dfrac{1}{30}$.

Pronađite sve parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi

$$x^2 + y^2 = 2025.$$

Zadan je niz $(a_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ takav da je $a_0 = a$, $a_1 = b$, gdje su $a$, $b\in \mathbb{R}$, i

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n \geq 2.$$

Odredite $a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1}$.

Koliko ima tročlanih podskupova skupa $S = \{1,2,3,\ldots,50\}$ kojima je umnožak članova djeljiv s $4$?

Sinusi unutarnjih kutova nekog pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. U kojem su omjeru duljine stranica tog trokuta?

Djevojke Marija i Magdalena igraju šahovski meč u tri partije. Vjerojatnosti da Marija u pojedinoj partiji pobijedi, izgubi ili da partija završi remijem su međusobno jednake. Ukupna pobjednica meča je djevojka koja ostvari više pobjeda (u tri partije), a ako budu imale jednak broj pobjeda, meč završava neodlučenim rezultatom.

Kolika je vjerojatnost da Marija bude ukupna pobjednica meča?

Odredi sve uređene parove $(p, n)$ gdje je $p$ prost, a $n$ prirodan broj za koje vrijedi $$1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n = 2801.$$

Neka je $(a_n)$ niz definiran sa $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ i $$a_n = a_{n-1} + (n-1)a_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Dokaži da vrijedi $a_{2024} \geqslant \sqrt{2024!}$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ za koje vrijedi $$D(m, 20) = n, \quad D(n, 15) = k \quad \text{i} \quad D(m, k) = 5,$$ gdje je $D(a, b)$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$.

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ te $4z_3 = 3(z_1 + z_2)$. Koliko je $|z_1 - z_2|$?

Pravokutni trokuti $ABC$ i $ABD$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{AB}$, a katete $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ im se sijeku u točki $E$. Neka je $F$ ortogonalna projekcija točke $E$ na pravac $AB$. Dokaži da je $FE$ simetrala kuta $\measuredangle CFD$.

Niz znamenaka sastoji se od jedinica i nula. Među bilo kojih $200$ uzastopnih znamenaka jednako je jedinica i nula, a među bilo koje $202$ uzastopne znamenke broj jedinica i broj nula se razlikuju. Koja je najveća moguća duljina takvog niza?

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$13^{n+1} + 14^{2n-1}$$ djeljiv sa $183$.

Dokaži da je $$\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024} + \frac{3^{2024}}{\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024}}$$ prirodan broj.

Članovi niza $x_1, x_2, x_3, \ldots$ dobiveni su množenjem odgovarajućih članova dvaju aritmetičkih nizova. Prva tri člana tako nastalog niza su $x_1 = 1440$, $x_2 = 1716$ i $x_3 = 1848$. Odredi osmi član tog niza.

U nekoj školi učenici mogu učiti dva klasična jezika: latinski i grčki. Od $100$ učenika, njih $50$ uči latinski, $40$ grčki, a $20$ ih uči oba jezika. Ako slučajno odaberemo dva učenika, kolika je vjerojatnost da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki?

U trokut $ABC$ površine $1$ upisan je pravokutnik $PQRS$ tako da točke $P$ i $Q$ leže na stranici $\overline{AB}$, točka $R$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $S$ na stranici $\overline{AC}$. Odredi najveći mogući iznos površine pravokutnika $PQRS$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, p)$ gdje je $p$ prost, a $x$ i $y$ prirodni brojevi za koje vrijedi $$p^x - 1 = y^3.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $z^2 = (1 + i) \cdot \overline{z}$.

Pet međusobno različitih realnih brojeva $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ uzastopni su članovi aritmetičkog niza, a njihov zbroj iznosi $50$. Odredi te brojeve ako su brojevi $a_1$, $a_2$ i $a_5$ uzastopni članovi geometrijskog niza.

Za kompleksne brojeve $p$ i $q$ vrijedi $p + q = 5$ i $p^2 + q^2 = 9$. Dokaži da je $p^n + q^n$ neparan cijeli broj za sve $n \in \mathbb{N}$.

Kružnica prolazi točkama $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, a njeno središte pripada pravcu $y = 2x - 6$. Odredi sinus obodnog kuta nad manjim lukom $\widehat{AB}$ te kružnice.

Od $27$ sukladnih bijelih kockica sastavljena je kocka te su sve njene vanjske strane obojene crno.

(a) Slučajno je odabrana jedna od tih kockica i postavljena na stol na slučajno odabranu stranu. Kolika je vjerojatnost da svih pet vidljivih strana kockice bude bijele boje?

(b) Na stolu se nalazi kockica kojoj je svih pet vidljivih strana bijele boje. Kolika je vjerojatnost da je i šesta strana te kockice bijela?

Izračunaj $$\sum_{k=1}^{1011} \binom{2022}{2k-1}2^{k-1}$$

U ovisnosti o prostom broju $p$ odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$m^2 = n^2 - 4np + 3p^2$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Gumena lopta bačena je s visine od $200$ metara. Svaki put nakon što se odbije od površine, dosegne $4/5$ prethodne visine: nakon prvog odbijanja popne se na $160$ metara, nakon drugog odbijanja na $128$ metara, itd. Koliko iznosi ukupna udaljenost koju lopta prijeđe dok se ne zaustavi?

Zadana je elipsa s jednadžbom $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ i hiperbola kojoj su žarišta u glavnim tjemenima te elipse, a tjemena u žarištima elipse. Odredi sjecišta hiperbole i elipse.

Rekurzivno je zadan niz: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 3,$$ $$a_n = (n + 1)a_{n-1} - na_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $a_n$ djeljivo s $9$.

Odredi posljednje tri znamenke broja $21^{2021}$.

Svaki član niza $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini geometrijske i aritmetičke sredine dvaju njemu susjednih članova.

Ako je $a_1 = \dfrac{1}{505}$ i $a_{505} = 505$, odredi $a_{1010}$.

Figura postavljena na oplošje kocke $K_n$ dimenzija $n \times n \times n$ na strani na kojoj se nalazi napada sva polja u retku i stupcu u kojima se nalazi, poput šahovskog topa, ali i polja na ostalim stranama u produžetcima tih redaka/stupaca. (Na slici su označena vidljiva polja na kocki $K_4$ koja postavljena figura napada.)

Koliko najviše figura možemo postaviti na oplošje kocke $K_{50}$ tako da se međusobno ne napadaju?

Odredi argument kompleksnog broja $z$ ako vrijedi

$$\mathrm{Re} \frac{1}{z} = \mathrm{Im} \frac{1}{z} = 2020.$$

Zadan je niz $(a_n)$ takav da je $a_0 = 1$, $a_1 = 4$ i

$$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2},$$

za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$.

Dokaži da su svi članovi niza $(a_n)$ kvadrati prirodnih brojeva.

Igrača kockica bačena je triput zaredom. Odredi vjerojatnost da je pri svakom bacanju (nakon prvog) pao broj koji nije manji od prethodnog.

Odredi skup svih vrijednosti koje postiže funkcija $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$$f(x) = \frac{2020x}{x^2 + x + 1}.$$

Odredi zbroj svih prirodnih brojeva $n$ manjih od $1000$ za koje je $2^n + 1$ djeljivo s $11$.

Odredi točke $A$ i $B$ na paraboli $y^2 = x$ tako da točka $(2,1)$ pripada dužini $\overline{AB}$, a da polovište dužine $\overline{AB}$ bude što je moguće bliže osi $y$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ koji imaju točno $12$ pozitivnih djelitelja

$$1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{12} = n$$

za koje vrijedi $d_4 = 5$ i $d_5^2 + 1 = d_7$.