Search

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Neka je $D$ točka takva da je četverokut $AHCD$ paralelogram. Neka je $p$ okomica na pravac $AB$ kroz polovište $A_1$ stranice $\overline{BC}$. Označimo sjecište pravaca $p$ i $AB$ s $E$, a polovište dužine $\overline{A_1E}$ s $F$. Točku u kojoj paralela s pravcem $BD$ kroz točku $A$ siječe $p$ označimo s $G$. Dokaži da je četverokut $AFA_1C$ tetivan ako i samo ako pravac $BF$ prolazi polovištem dužine $\overline{CG}$.

Neka je $I$ središte upisane kružnice, $O$ središte opisane kružnice te $H$ ortocentar trokuta $ABC$ u kojem je kut $\measuredangle CBA$ manji od kuta $\measuredangle ACB$. Upisana kružnica dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pretpostavimo da su pravci $AO$ i $HD$ paralelni. Neka se pravci $OD$ i $AH$ sijeku u točki $E$ i neka je $F$ polovište dužine $\overline{CI}$. Dokaži:

a) Pravci $OI$ i $BC$ su paralelni.

b) Točke $E$, $F$, $I$ i $O$ pripadaju istoj kružnici.

An acute-angled triangle $ABC$ has orthocentre $H$. The circle passing through $H$ with centre the midpoint of $BC$ intersects the line $BC$ at $A_1$ and $A_2$. Similarly, the circle passing through $H$ with centre the midpoint of $CA$ intersects the line $CA$ at $B_1$ and $B_2$, and the circle passing through $H$ with centre the midpoint of $AB$ intersects the line $AB$ at $C_1$ and $C_2$. Show that $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ lie on a circle.

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with orthocentre $H$, and let $W$ be a point on the side $BC$, lying strictly between $B$ and $C$. The points $M$ and $N$ are the feet of the altitudes from $B$ and $C$, respectively. Denote by $\omega_1$ the circumcircle of $BWN$, and let $X$ be the point on $\omega_1$ such that $WX$ is a diameter of $\omega_1$. Analogously, denote by $\omega_2$ the circumcircle of $CWM$, and let $Y$ be the point on $\omega_2$ such that $WY$ is a diameter of $\omega_2$. Prove that $X$, $Y$ and $H$ are collinear.

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB > AC$. Let $\Gamma$ be its circumcircle, $H$ its orthocentre, and $F$ the foot of the altitude from $A$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. Let $Q$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle HQA = 90°$, and let $K$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle HKQ = 90°$. Assume that the points $A$, $B$, $C$, $K$ and $Q$ are all different, and lie on $\Gamma$ in this order.

Prove that the circumcircles of triangles $KQH$ and $FKM$ are tangent to each other.

Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centres $M$ and $N$, respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$. Suppose circles $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. Line $MN$ intersects $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$, such that points $C$, $M$, $N$ and $D$ lie on the line in that order. Let $P$ be the circumcentre of triangle $ACD$. Line $AP$ intersects $\Omega$ again at $E \neq A$. Line $AP$ intersects $\Gamma$ again at $F \neq A$. Let $H$ be the orthocentre of triangle $PMN$.

Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$.

(The orthocentre of a triangle is the point of intersection of its altitudes.)

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB < AC$, and let $D$ be the foot of its altitude from $A$. Points $B'$ and $C'$ lie on the rays $AB$ and $AC$, respectively, so that points $B'$, $C'$ and $D$ are collinear and points $B$, $C$, $B'$ and $C'$ lie on one circle with center $O$. Prove that if $M$ is the midpoint of $BC$ and $H$ is the orthocenter of $ABC$, then $DHMO$ is a parallelogram.

Let $ABC$ be an acute scalene triangle with circumcircle $\omega$ and incenter $I$. Suppose the orthocenter $H$ of $BIC$ lies inside $\omega$. Let $M$ be the midpoint of the longer arc $BC$ of $\omega$. Let $N$ be the midpoint of the shorter arc $AM$ of $\omega$.

Prove that there exists a circle tangent to $\omega$ at $N$ and tangent to the circumcircles of $BHI$ and $CHI$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle BAC = 60°$ i $|AB| > |AC|$. Ako je $I$ središte upisane kružnice, a $H$ ortocentar tog trokuta, dokaži da je $2\measuredangle AHI = 3\measuredangle ABC$.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Pravac $HM$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $A_1$ i $B_1$. Neku su $A_2$ i $B_2$ redom nožišta okomica iz $A_1$ i $B_1$ na pravac $CH$. Dokaži da se pravci $AB_2$ i $BA_2$ sijeku na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $O$ središte opisane kružnice, a $H$ ortocentar trokuta $ABC$. Pravac $AO$ siječe opisanu kružnicu u točki $D$. Dokaži da pravac $HD$ prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \measuredangle BAC$.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ sijeće kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.

Dokaži da vrijedi $|DE| = |DF| = |AB|$.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $ABH$ ima središte $S$ i siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $B$ i $D$. Neka je $P$ presjek pravca $DH$ i dužine $\overline{AC}$, te neka je $Q$ središte opisane kružnice trokuta $ADP$. Dokaži da je četverokut $BDQS$ tetivan.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ te ortocentrom $H$. Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{AD}$ sijeku se u točki $G$. Dužina $\overline{AK}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $M$. Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut i neka su $P$ i $Q$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$. Dokažite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$. Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$, dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.