Search

Neka su $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$.

Dokaži nejednakost:

$$\frac{a_1^3}{a_1^2 + a_2 a_3} + \frac{a_2^3}{a_2^2 + a_3 a_4} + \cdots + \frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2 + a_n a_1} + \frac{a_n^3}{a_n^2 + a_1 a_2} \geqslant \frac{1}{2}.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ vrijedi nejednakost

$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 100} \frac{(x_j - x_i)^2}{j^2 - i^2} \geqslant \frac{1}{101} \sum_{1 \leqslant i \leqslant 50} (x_{101-i} - x_i)^2.$$

Prove that $\cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{2}$.

Prove that for every natural number $n$, and for every real number $x \neq k\pi / 2^t$ ($t = 0,1,\dots,n; k$ any integer) $$\frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^n x} = \cot x - \cot 2^n x.$$

For every natural number $n$, evaluate the sum $$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n + 2^k}{2^{k+1}} \right] = \left[ \frac{n + 1}{2} \right] + \left[ \frac{n + 2}{4} \right] + \cdots + \left[ \frac{n + 2^k}{2^{k+1}} \right] + \cdots$$

(The symbol $[x]$ denotes the greatest integer not exceeding $x$.)

Let $\{a_k\}$ $(k = 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots)$ be a sequence of distinct positive integers. Prove that for all natural numbers $n$,

$$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.$$

Let $p$ and $q$ be natural numbers such that

$$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$$

Prove that $p$ is divisible by 1979.

Show that set of real numbers $x$ which satisfy the inequality

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

is a union of disjoint intervals, the sum of whose lengths is 1988.

Prove that the set $\{1,2,\ldots,1989\}$ can be expressed as the disjoint union of subsets $A_i$ ($i = 1, 2, \ldots, 117$) such that:

(i) Each $A_i$ contains 17 elements;

(ii) The sum of all the elements in each $A_i$ is the same.

For each positive integer $n$, $S(n)$ is defined to be the greatest integer such that, for every positive integer $k \leq S(n)$, $n^2$ can be written as the sum of $k$ positive squares.

(a) Prove that $S(n) \leq n^2 - 14$ for each $n \geq 4$.

(b) Find an integer $n$ such that $S(n) = n^2 - 14$.

(c) Prove that there are infinitely many integers $n$ such that $S(n) = n^2 - 14$.

Let $n$ be a fixed integer, with $n \geq 2$.

(a) Determine the least constant $C$ such that the inequality

$$\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j (x_i^2 + x_j^2) \leq C \left( \sum_{1 \leq i \leq n} x_i \right)^4$$

holds for all real numbers $x_1, \ldots, x_n \geq 0$.

(b) For this constant $C$, determine when equality holds.

The sequence $a_1, a_2, \ldots$ of integers satisfies the following conditions:

(i) $1 \leqslant a_{j} \leqslant 2015$ for all $j \geqslant 1$;

(ii) $k + a_{k} \neq \ell + a_{\ell}$ for all $1 \leqslant k < \ell$.

Prove that there exist two positive integers $b$ and $N$ such that $$\left| \sum_{j = m + 1}^{n} (a_{j} - b) \right| \leqslant 1007^{2}$$ for all integers $m$ and $n$ satisfying $n > m \geqslant N$.

Determine all real numbers $\alpha$ such that, for every positive integer $n$, the integer $$\lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \cdots + \lfloor n\alpha \rfloor$$ is a multiple of $n$. (Note that $\lfloor z \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z$. For example, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$ and $\lfloor 2 \rfloor = \lfloor 2.9 \rfloor = 2$.)

Find all pairs $(n,p)$ of positive integers such that $p$ is prime and

$$1 + 2 + \cdots + n = 3 \cdot (1^2 + 2^2 + \cdots + p^2).$$

Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2(a_1 + a_2)} + \frac{a_2}{a_3(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_n}{a_1(a_n + a_1)} = \frac{a_2}{a_1(a_1 + a_2)} + \frac{a_3}{a_2(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_1}{a_n(a_n + a_1)}.$$

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Izračunaj zbroj $$\frac{1}{2\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}.$$

Na jednom turniru sudjelovalo je $n$ košarkaških ekipa. Svaka ekipa odigrala je sa svakom drugom točno jednu utakmicu. Neriješenih ishoda nije bilo. Ako na kraju turnira $i$-ta ekipa ima $x_i$ pobjeda i $y_i$ poraza $(i = 1, 2, \ldots, n)$, dokažite da je $$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2.$$

Svaki od brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}$ može biti $-1$, $0$ ili $1$. Koja je najmanja moguća vrijednost zbroja svih umnožaka $x_i x_j$ za $1 \leqslant i < j \leqslant 2014$?

Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

Neka je $$A = \frac{\sin 1°}{\cos 0° \cos 1°} + \frac{\sin 5°}{\cos 2° \cos 3°} + \cdots + \frac{\sin 177°}{\cos 88° \cos 89°}$$ i $$B = \operatorname{tg} 91° + \operatorname{tg} 92° + \cdots + \operatorname{tg} 179° + \operatorname{tg} 180°.$$ Izračunaj $A + B$.

Dokaži da je zbroj $$\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ - \cos 2^\circ} + \frac{\cos 5^\circ}{\cos 10^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos(2n + 1)^\circ}{\cos(4n + 2)^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ - \cos 2^\circ}$$ jednak $$\frac{\sin 2^\circ - 1}{4 \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ}.$$

Dokaži da za svaki prirodan broj $n$ djeljiv s 4 vrijedi

$$\sin^2 \left(\frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(2 \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin^2 \left((n - 1) \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(n \cdot \frac{2\pi}{n}\right) = \frac{n}{2}.$$

Izračunajte sumu $$\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \ldots + \frac{a_k}{2^k} + \ldots$$ gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj način: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{za } n > 2.$$

Neka je $S = \{k \in \mathbf{N} : a \in \mathbf{N}, a^2 | k \Rightarrow a = 1\}$ i $n \in \mathbf{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2 x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

Neka je $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.

Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $$a_n = a_1 \cdots a_{n-1} + 1, \quad \text{za } n \geq 2.$$ Odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $$\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_n} < M \quad \text{za svaki } m \in \mathbb{N}.$$

Odredi formulu za zbroj

$$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{n^2 - 1} \rfloor.$$

Tu je $\lfloor r\rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve pozitivne realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\frac {2 ^ {2}}{x + 1} + \frac {3 ^ {2}}{x + 2} + \dots + \frac {(n + 1) ^ {2}}{x + n} + n x ^ {2} = n x + \frac {n (n + 3)}{2}.$$

U jednom retku redom su napisani brojevi $1, 2, \dots, 2016$. U svakom idućem retku napisani su redom zbrojevi dvaju susjednih brojeva. Npr. u drugom retku su napisani brojevi $3, 5, \dots, 4031$. U zadnjem retku je samo jedan broj. Koji je to broj?

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Gumena lopta bačena je s visine od $200$ metara. Svaki put nakon što se odbije od površine, dosegne $4/5$ prethodne visine: nakon prvog odbijanja popne se na $160$ metara, nakon drugog odbijanja na $128$ metara, itd. Koliko iznosi ukupna udaljenost koju lopta prijeđe dok se ne zaustavi?

Izračunaj $$\sum_{k=1}^{1011} \binom{2022}{2k-1}2^{k-1}$$

Odredi sve uređene parove $(p, n)$ gdje je $p$ prost, a $n$ prirodan broj za koje vrijedi $$1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n = 2801.$$

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $a_0, a_1, \ldots, a_{2n} \in \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ realni brojevi takvi da je $$\tg a_k = 2^{k-n} \quad \text{za} \quad k = 0, 1, \ldots, 2n.$$

Izračunaj zbroj $a_0 + a_1 + \cdots + a_{2n}$.

Neka su $a_0, a_1, \ldots, a_n$ realni brojevi takvi da je $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = (x + 1)^3(x + 2)^3 \cdots (x + 672)^3.$$ Odredi zbroj $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{2016}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Za $n \in \mathbb{N}$ definiramo kompleksan broj

$$a_n = (1 + i) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) \cdots \left(1 + \frac{i}{\sqrt{n}}\right).$$

Izračunaj

$$\left| a_1 - a_2 \right| + \left| a_2 - a_3 \right| + \cdots + \left| a_{2019} - a_{2020} \right|.$$