Croatian Mathematical Olympiad 2014

Dan je realni broj $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$. Dokaži da za pozitivne realne brojeve $x, y, z$ vrijedi nejednakost: $$x(x - y)(\alpha x - y) + y(y - z)(\alpha y - z) + z(z - x)(\alpha z - x) \geqslant 0.$$

Dan je prirodni broj $M \geqslant 3$. Kažemo da je pravilni mnogokut sjajno obojan ako su sve njegove stranice i dijagonale obojane u točno $M$ boja tako da ne postoje tri vrha tog mnogokuta koja određuju trokut čije su stranice obojane u točno dvije boje.

Neka je $N$ najveći prirodni broj takav da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $N$ vrhova.

a) Dokaži da je $N \leqslant (M - 1)^2$.

b) Ako je $M - 1$ prosti broj, dokaži da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $(M - 1)^2$ vrhova.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $|AB| > |AC|$. Neka je $P$ polovište stranice $\overline{BC}$, a $S$ točka u kojoj simetrala kuta $\measuredangle BAC$ sijeće tu stranicu. Paralela s pravcem $AS$ kroz točku $P$ sijeće pravce $AB$ i $AC$ redom u točkama $X$ i $Y$. Neka je $Z$ točka takva da je $Y$ polovište dužine $\overline{XZ}$ te neka se pravci $BY$ i $CZ$ sijeku u točki $D$.

Dokaži da je simetrala kuta $\measuredangle BDC$ paralelna s pravcem $AS$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Neka je $\alpha$ realni broj. Nađi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve $x,y\in \mathbb{R}$ vrijedi: $$f(x + \alpha + f(y)) = f(f(x)) + f(\alpha) + y.$$

Neka je $N \geqslant 3$ neparni prirodni broj. Na početku se u svakom polju tablice $N \times N$ nalazi broj $0$. U pojedinom potezu biraju se dva polja koja imaju zajedničku stranicu i zatim se oba broja u tim poljima povećaju za $1$ ili se oba broja smanje za $1$.

Ako su nakon $K$ poteza zbrojevi brojeva u svakom retku i svakom stupcu tablice međusobno jednaki, dokaži da je $K$ paran broj.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Dokaži da za svaki $x \in \left[\frac{1}{111}, \frac{110}{111}\right]$ možemo odabrati brojeve $a_i \in \{-1, 1\}$, $i = 1, 2, \ldots, 101$ takve da je $$\left|x_{101} - x\right| \leqslant \frac{1}{402},$$ pri čemu je $$x_0 = 1, \quad x_k = (x_{k-1} + 1)^{a_k}, \quad \text{za} \quad k = 1, 2, \ldots, 101.$$

Neka je $N$ prirodni broj. Stepenicama zovemo dio kvadratne ploče dimenzija $N \times N$ koji se sastoji od prvih $K$ polja u $K$-tom retku za $K = 1, 2, \ldots, N$. Na koliko je načina moguće razrezati stepenice na pravokutnike različitih površina koji se sastoje od polja dane ploče?

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Za dani prirodni broj $n$ nađi najmanji prirodni broj $k$ sa sljedećim svojstvom:

Ako su $a_1, a_2, \ldots, a_d$ realni brojevi, $0 \leqslant a_i \leqslant 1$, $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$, tada je moguće rasporediti tih $d$ brojeva u $k$ grupa tako da je zbroj brojeva u svakoj grupi najviše $1$ (neke grupe mogu biti prazne).

Dvadesetoro djece ima $100$ vrpci. Svaku vrpcu drže za krajeve dva djeteta. Dva djeteta mogu zajedno držati samo jednu vrpcu. Pretpostavimo da je par vrpci čija četiri kraja drže različita djeca moguće odabrati na $4050$ načina. Dokaži da svako dijete drži jednak broj vrpci.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.