Croatian Mathematical Olympiad 2015

Neka $m$ prirodni broj. Dano je $2^{m}$ papira i na svakom od njih napisan je broj $1$. U svakom potezu dozvoljeno je izabrati dva različita papira, pobrisati brojeve $a$ i $b$ koji pišu na tim papirima te na oba papira napisati broj $a + b$.

Dokaži da nakon $2^{m-1}m$ poteza zbroj brojeva na svim papirima iznosi najmanje $4^{m}$.

Čarobna triangulacija je podjela trokuta na manje trokute konačnim brojem dužina čiji su krajevi vrhovi trokuta ili točke u njegovoj unutrašnjosti, pri čemu se u svakoj od tih točaka (uključujući vrhove trokuta) sastaje jednak broj dužina.

Na koliko najviše manjih trokuta trokut može biti podijeljen čarobnom triangulacijom?

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $M$ i $N$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $A$ i $C$, a kružnicu $k_2$ u točkama $B$ i $D$ tako da se točke $A$, $B$, $C$ i $D$ na pravcu $l$ nalaze u tom poretku. Neka je $X$ točka na pravcu $MN$ takva da se točka $M$ nalazi između točaka $X$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravaca $AX$ i $BM$, a $Q$ sjecište pravaca $DX$ i $CM$.

Ako je $K$ polovište dužine $\overline{AD}$, a $L$ polovište dužine $\overline{BC}$, dokaži da se pravci $XK$ i $ML$ sijeku na pravcu $PQ$.

Dokaži da niz $$a_k = \left\lfloor \frac{2^k}{k} \right\rfloor, \quad k \in \mathbb{N}$$ sadrži beskonačno mnogo neparnih brojeva.

($\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $x$, $y$, $z$ vrijedi nejednakost $$\frac{x^2}{xy + z} + \frac{y^2}{yz + x} + \frac{z^2}{zx + y} \geqslant \frac{(x + y + z)^3}{3[x^2(y + 1) + y^2(z + 1) + z^2(x + 1)]}.$$

Dan je prirodni broj $N$. U svakom polju tablice $N \times N$ na početku je upisana nula. U svakom potezu dozvoljeno je odabrati redak ili stupac, obrisati sve brojeve koji se nalaze u njemu i upisati brojeve od $1$ do $N$ proizvoljnim redom. Koliko maksimalno može iznositi zbroj svih brojeva u tablici?

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| > |BC|$, a točke $A_1$ i $C_1$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $C$. Neka je $D$ drugo sjecište kružnica opisanih trokutima $ABC$ i $A_1BC_1$ (različito od $B$). Neka je $Z$ sjecište tangenata na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $A$ i $C$, te neka se pravci $ZA$ i $A_1C_1$ sijeku u točki $X$, a pravci $ZC$ i $A_1C_1$ u točki $Y$.

Dokaži da točka $D$ leži na kružnici opisanoj trokutu $XYZ$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p - 1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p - 3$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f(f(x))(x - f(y)) + 2xy = f(x)f(x + y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}.$$

U nekoj državi je $N$ gradova, među nekima postoje (dvosmjerne) avionske linije. Svaki let povezuje točno dva grada. Nijedan grad nije povezan izravnim letovima sa svim ostalim gradovima. Poznato je da za svaka dva grada $A$ i $B$ postoji točno jedan način da se dođe iz $A$ u $B$ koristeći najviše dva leta. Dokaži da je $N - 1$ kvadrat prirodnog broja.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DAB = 110^\circ$, $\measuredangle ABC = 50^\circ$, $\measuredangle BCD = 70^\circ$. Neka su $M$ i $N$ polovišta dužina $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom. Za točku $P$ na dužini $\overline{MN}$ vrijedi $|AM| : |CN| = |MP| : |NP|$ i $|AP| = |CP|$. Odredi veličinu $\measuredangle APC$.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je broj $4a^2 + 9b^2 - 1$ djeljiv brojem $n$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f (x f (x) + f (x y)) = f \left(x ^ {2}\right) + y f (x), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb {R}.$$

U konveksnom $N$-terokutu nacrtane su neke dijagonale. Za nacrtanu dijagonalu kažemo da je dobra ako se siječe s točno jednom od ostalih nacrtanih dijagonala (vrhove ne ubrajamo u sjecišta). Odredi najveći mogući broj dobrih dijagonala.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a točka $D$ na stranici $\overline{AC}$ takva da je $|AB| = |DB|$. Upisana kružnica trokuta $BCD$ dodiruje pravce $AC$ i $BD$ redom u točkama $E$ i $F$. Dokaži da pravac $EF$ raspolavlja dužinu $\overline{DI}$.

Odredi sve prirodne brojeve $x$ i $y$ takve da vrijedi $$x(x^2 + 19) = y(y^2 - 10).$$