Search

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$|z^2 + 1| = 2|z| \quad \text{i} \quad |z - 3i| = \sqrt{10}.$$

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Riješite jednadžbu $$2z^3 - (5 + 6i)z^2 + 9iz + 1 - 3i = 0$$ ako se zna da je jedno njezino rješenje realno.

Neka je $z$ kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost $z^8 = \bar{z}$. Koje vrijednosti može poprimiti broj $z^{2001}$?

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Nađi sve parove kompleksnih brojeva $(w, z)$, $w \neq z$, koji zadovoljavaju sustav jednadžbi $$w^5 + w = z^5 + z,$$ $$w^5 + w^2 = z^5 + z^2.$$

Dokaži da svaki kompleksni broj $z$ za koji postoji točno jedan kompleksni broj $a$ takav da je $$z^3 + (2 - a) z^2 + (1 - 3a) z + a^2 - a = 0$$ zadovoljava jednakost $z^3 = 1$.

Neka je $a$ kompleksni broj takav da vrijedi

$$a^5 + a + 1 = 0.$$

Koje vrijednosti može poprimiti izraz $a^2 (a - 1)$?

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)$$

realni.

Neka su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ rješenja jednadžbe $x^3 - 2x + 2 = 0$. Odredi $$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 1}{c - 1}.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je omjer imaginarnog dijela pete potencije broja $z$ i pete potencije imaginarnog dijela broja $z$ najmanji mogući.

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Neka su $z$ i $w$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z| = |w| = |z - w|$. Izračunajte $\left(\dfrac{z}{w}\right)^{1992}$.

Neka je $A = \{z_1, \ldots, z_n\}$ skup od $n$ kompleksnih brojeva, $n \geq 2$ i neka je za svaki $i$ $\{z_i z_1, z_i z_2, \ldots, z_i z_n\} = A$. a) Dokažite da je za svaki $i$ ispunjeno $|z_i| = 1$. b) Dokažite da iz $z \in A$ slijedi i $\overline{z} \in A$.

Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3 - z}$.

(a) Odredite skup $\{w : z = 2 + iy, y \in \mathbf{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.

(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w - 1}{w - 2} = \lambda \frac{z - 1}{z - 2}$.

(c) Neka je $z_0 = \frac{1}{2}$ i niz $(z_n)$ definiran sa $$z_n = \frac{2}{3 - z_{n-1}}, \quad n \geq 1.$$ Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1,1\}$ vrijedi $$|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n| \leq |\varepsilon_1 w_1 + \ldots + \varepsilon_n w_n|.$$

Dokažite da je $$|z_1|^2 + \ldots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \ldots + |w_n|^2.$$

Gaussov cijeli broj je kompleksni broj čiji su realni i imaginarni dijelovi cijeli brojevi. Odredi najveći prirodni broj $n$ za koji postoji skup od $n$ Gaussovih cijelih brojeva tako da su kvadrati njihovih apsolutnih vrijednosti uzastopni prirodni brojevi.

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)(x - a^4)$$

realni.

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$(1 - z + z^2)(1 - z^2 + z^4)(1 - z^4 + z^8) \cdots (1 - z^{2^{n-1}} + z^{2^n}) = \frac{3z^{2^n}}{1 + z + z^2}.$$

Dani su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ za koje polinom $$P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ ima svojstvo da je apsolutna vrijednost svake njegove nultočke jednaka 1.

Dokaži da i polinom $$Q(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c|$$ ima isto svojstvo.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Odredi argument kompleksnog broja $z$ ako vrijedi

$$\mathrm{Re} \frac{1}{z} = \mathrm{Im} \frac{1}{z} = 2020.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $z^2 = (1 + i) \cdot \overline{z}$.

Za kompleksne brojeve $p$ i $q$ vrijedi $p + q = 5$ i $p^2 + q^2 = 9$. Dokaži da je $p^n + q^n$ neparan cijeli broj za sve $n \in \mathbb{N}$.

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ te $4z_3 = 3(z_1 + z_2)$. Koliko je $|z_1 - z_2|$?

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Odredi najveću moguću vrijednost realnog dijela kompleksnog broja $$(10 + 14i)z + \frac{8 - 8i}{z}$$ ako je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 2$.

Za $n \in \mathbb{N}$ definiramo kompleksan broj

$$a_n = (1 + i) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) \left(1 + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) \cdots \left(1 + \frac{i}{\sqrt{n}}\right).$$

Izračunaj

$$\left| a_1 - a_2 \right| + \left| a_2 - a_3 \right| + \cdots + \left| a_{2019} - a_{2020} \right|.$$

Neka je $w = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})$. Odredi najveći broj $n \in \mathbb{N}_0$ za koji postoje kompleksni brojevi $a, b, c$ tako da za svaki $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ vrijedi

$$a + b w^{k} + c w^{2k} = k.$$

Za tako određeni $n$ nađi sve trojke $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju gornje jednakosti.

Za svaki prirodan broj $n$ neka su $a_n$ i $b_n$ realni brojevi takvi da je $(\sqrt{3} + i)^n = a_n + ib_n$. Dokaži da izraz $$\frac{a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_n}{a_{n+1} a_n + b_{n+1} b_n}$$ poprima istu vrijednost za sve $n \in \mathbb{N}$ te odredi tu vrijednost.

Za koje realne brojeve $a$ sustav

$$\left\{ \begin{array}{l} (1 + i) \cdot z + (1 - i) \cdot \bar{z} = 2a \\ |z + 1 - i| = \sqrt{2} \end{array} \right.$$

ima točno jedno rješenje u skupu kompleksnih brojeva?

Neka je $z$ kompleksan broj takav da je broj $$\frac{6z^2 + 5z + 6}{3z^2 + 10z + 3}$$ realan. Dokaži da je $z$ realan broj ili da vrijedi $|z| = 1$.