Croatian Mathematical Olympiad 2025

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u kojem je $|BC| > |AC|$, te neka je $N$ nožište okomice iz točke $A$ na dužinu $\overline{CM}$. Neka je $P$ točka na pravcu $AN$ takva da je $PB$ okomito na $CB$.

Ako vrijedi $\measuredangle CPB = \measuredangle CBA$, dokaži da je $\measuredangle BAC = 90°$.

Leon ima $99$ praznih vreća i za svaki cijeli broj $n$ neograničenu količinu kuglica mase $3^n$.

Leon je rasporedio u vreće konačno mnogo kuglica tako da nijedna vreća ne bude prazna i da masa kuglica u svakoj vreći bude ista. Pritom nije iskoristio više od $k$ kuglica iste mase. Koja je najmanja moguća vrijednost $k$?

Niz prirodnih brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ u kojem je $a_1 > 1$ zadovoljava relaciju

$$a_{n+1} = a_n + p^n \quad \text{za } n \in \mathbb{N},$$

pri čemu je $p = 2$ ako je $a_n$ potencija broja $2$, a inače je $p$ najmanji neparan prosti djelitelj broja $a_n$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo parova prirodnih brojeva $(m,n)$ uz $m \neq n$ takvih da $a_m$ dijeli $a_n$.

Dokaži da u svakom aritmetičkom nizu prirodnih brojeva postoji beskonačno mnogo članova koji su djelitelji umnoška svih prethodnih članova.

Napomena. Za niz brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kažemo da je aritmetički ako je $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ za svaki prirodan broj $n \geq 2$.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da za svaki prirodan broj $n$ postoji prirodan broj $m$ takav da vrijedi

$$P(n + 1) = P(n) + P(m).$$

Neka je $I$ središte upisane kružnice, $O$ središte opisane kružnice te $H$ ortocentar trokuta $ABC$ u kojem je kut $\measuredangle CBA$ manji od kuta $\measuredangle ACB$. Upisana kružnica dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pretpostavimo da su pravci $AO$ i $HD$ paralelni. Neka se pravci $OD$ i $AH$ sijeku u točki $E$ i neka je $F$ polovište dužine $\overline{CI}$. Dokaži:

a) Pravci $OI$ i $BC$ su paralelni.

b) Točke $E$, $F$, $I$ i $O$ pripadaju istoj kružnici.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $m,n \in \mathbb{N}$ vrijedi nejednakost

$$m^{f(n)} - n^{f(m)} \leq mn.$$

Neka je $ABCD$ tetivan četverokut takav da je $|AB| = |AD|$. Točke $M$ i $N$ nalaze se redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ i pritom je $|BM| + |DN| = |MN|$. Dokaži da središte opisane kružnice trokuta $AMN$ pripada pravcu $AC$.

Neka je $n$ prirodan broj. Na nogometnom turniru sudjeluje $2n + 1$ ekipa, a svake dvije ekipe međusobno igraju po jednu utakmicu. Sve se utakmice igraju na istom terenu, pa nije moguće da se dvije utakmice igraju istovremeno. Nikakvih drugih pravila o redoslijedu odigravanja utakmica nema.

Kažemo da je utakmica između dviju ekipa ravnopravna ako su obje ekipe do tada odigrale jednak broj utakmica. Koliko najviše ravnopravnih utakmica može biti odigrano na tom turniru?

Na nekim poljima ploče dimenzija $300 \times 300$ postavljene su kule, figure koje kontroliraju sva polja u svom stupcu i retku. Kule su raspoređene tako da svako polje ploče kontrolira barem jedna kula, a svaka kula kontrolira najviše jedno polje na kojem je neka druga kula. Odredi najmanji prirodni broj $k$ takav da se u svakom kvadratu dimenzija $k \times k$ sigurno nalazi barem jedna kula.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da je $2n \leq m$ i

$$m! + n! \mid (m + n)!$$

Za realan broj kažemo da je velik ako mu je apsolutna vrijednost veća ili jednaka $1$. Za svaki prirodan broj $m$, odredi najveći realan broj $C_m$ takav da za bilo kojih $m$ velikih brojeva $a_1, a_2, \ldots, a_m$ vrijedi

$$a_1^2 + (a_1 + a_2)^2 + \ldots + (a_1 + a_2 + \ldots + a_m)^2 \geq C_m.$$