Grade 10

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\frac{3 - 2\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 2} - 2} \geqslant \sqrt{x + 6}.$$

Grafovi funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 9x - 20$ i $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$ nacrtani su u koordinatnoj ravnini. Odredi najveću moguću površinu pravokutnog trokuta $ABC$ s pravim kutom u vrhu $C$ smještenog tako da su mu vrhovi $A$ i $C$ na osi apscisa, vrh $A$ pripada grafu funkcije $f$, a vrh $B$ grafu funkcije $g$ i pritom je apscisa točke $B$ manja od apscise točke $A$, a njena ordinata veća od ordinate točke $A$.

Zadan je pravokutan trokut opsega $60$ čija je visina na hipotenuzu duljine $12$. Odredi duljine stranica tog trokuta.

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 19x + r = 0$ kubovi cijelih brojeva.

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$.

(a) Može li tablica imati točno $200$ polja?

(b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AD| = 5$, $|\measuredangle CBA| = 90^\circ$, te su kutovi $\measuredangle ADC$ i $\measuredangle DCB$ šiljasti i međusobno sukladni. Odredi duljinu dužine $\overline{CD}$.

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x + y$ i $x^2 + y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ za koje je funkcija $f, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ rastuća.

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Ako je $$\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}} = a,$$ koliko je $(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2})^3$?

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ takve da je $$x^2 + y^2 = 10(x + y).$$

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Riješi nejednadžbu $$\frac{(1 + x)^2}{1 + y} \leqslant 1 + \frac{x^2}{y}.$$ Za koje parove $(x, y)$ se postiže jednakost?

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$. Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$. Ako je $|AB| = 2$ i $|CD| = 1$, odredi $|OC|$.

Kažemo da je prirodni broj $n \geqslant 2$ tajanstven ako za svaki njegov djelitelj $d$ veći od $1$ vrijedi $d^2 + n \mid n^2 + d$. Odredi sve tajanstvene prirodne brojeve.

Na slici je prikazan skup od $16$ točaka raspoređenih na $10$ istaknutih pravaca. Za dvije točke tog skupa kažemo da su vezane ako pripadaju istom istaknutom pravcu.

a) Koliko je najviše točaka promatranog skupa moguće odabrati tako da među njima ne bude vezanih točaka?

b) Odredi broj podskupova promatranog skupa točaka bez vezanih točaka s najvećim mogućim brojem elemenata.

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Neka su $p$ i $q$ prosti brojevi takvi da su $p + q + 4$ i $pq - 12$ također prosti brojevi. Odredi $p + q$.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $x$ realan broj različit od $-1$ i $1$. Dokaži da vrijedi $$x^2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} \geq 2.$$

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$\begin{cases} a^2 - 2ab + c^2 = ac - 13 \\ b^2 + ac = 23 \end{cases}$$

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt{9 - 5x} - \sqrt{3 - x} = \dfrac{6}{\sqrt{3 - x}}$.

Sir se nalazi u točki $(13,13)$, a miš trči pravocrtno od točke $(4, -2)$ do točke $(-1, 23)$. U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Pet strana drvene kocke obojano je plavom bojom dok je jedna strana neobojana. Kocka je potom razrezana na sukladne manje kockice od kojih $649$ ima točno jednu plavu stranu. Koliko je manjih kockica koje imaju točno dvije plave strane?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $a < b$ i neka je $S = \{a^2, a^2 + 1, a^2 + 2, \ldots, b^2\}$. Odredi sve parove brojeva $a$ i $b$ za koje je među elementima skupa $S$ točno $1\%$ kvadrata prirodnih brojeva.

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ i proste brojeve $p$ takve da je $$6n^2 - (2p + 9)n + p + 3 = 0.$$

Zapisan je $2021$-znamenkasti broj. Svaki dvoznamenkasti broj koji čine dvije uzastopne znamenke tog broja (bez promjene poretka) djeljiv je sa $17$ ili s $23$. Znamenka jedinica danog broja je $7$. Koja je njegova prva znamenka?

Dana je žica duljine $10$ m koju treba presjeći na dva dijela, te od jednog dijela napraviti kvadrat, a od drugog jednakostranični trokut. Na kojem mjestu treba presjeći žicu da bi ukupna površina kvadrata i jednakostraničnog trokuta bila što manja?

U svako polje tablice $10 \times 10$ upisan je po jedan prirodni broj, a svih $20$ zbrojeva brojeva u njezinim retcima i stupcima međusobno su različiti. Koliko iznosi najmanji mogući zbroj svih brojeva u tako popunjenoj tablici?

Odredi sve parove $\{a, b\}$ različitih realnih brojeva takve da jednadžbe $$x^2 + ax + b = 0 \quad \text{i} \quad x^2 + bx + a = 0$$ imaju barem jedno zajedničko rješenje u skupu realnih brojeva.

Neka je $ABCD$ pravokutnik u kojem je $|AB| = 1$ i $|BC| = \sqrt{3}$. Upisane kružnice trokuta $ABC$ i $ACD$ diraju dužinu $\overline{AC}$ u točkama $M$ i $N$. Odredi $|MN|$.

Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 63x + k = 0$ prosti brojevi.

Unutar kružnice $k$ polumjera $20$ nalaze se kružnica $k_1$ polumjera $5$ i kvadrat $ABCD$. Pritom se kružnice $k$ i $k_1$ diraju u točki $P$, točke $A$ i $B$ leže na kružnici $k$, a pravac $CD$ dira kružnicu $k_1$ u točki $Q$ takvoj da je $\overline{PQ}$ promjer te kružnice.

Odredi duljinu stranice kvadrata $ABCD$.

Svaki od četiri zida sobe potrebno je obojiti jednom bojom tako da susjedni zidovi ne budu iste boje. Ako na raspolaganju imamo tri različite boje, na koliko je načina moguće obojiti sobu? Nije nužno upotrijebiti sve boje.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da $n + 10$ dijeli $n^3 + 100$.

Upiši u prazna polja tablice brojeve tako da u svakom retku, stupcu i dijagonali broj u sredini bude aritmetička sredina druga dva broja. Obrazloži!

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 8 & \\ \hline 11 & & \\ \hline & & 29 \\ \hline \end{array}$$

Trapez $ABCD$ s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ ima opisanu kružnicu $k$. Njegove dijagonale međusobno su okomite i sijeku se u točki $S$. Odredi omjer površine kruga omedenog kružnicom $k$ i zbroja površina trokuta $ABS$ i $CDS$.

Dvije ekipe igraju rukomet. Nijedna ekipa nije postigla $30$ ili više pogodaka. Zapisničar na početku utakmice i nakon svakog postignutog pogotka zapisuje rezultat te izračuna zbroj svih znamenaka u rezultatu. Na primjer, kod rezultata $15 : 6$ zbroj znamenaka iznosi $12$. Koliko je najviše puta tijekom utakmice zapisničar mogao zapisati rezultat u kojem je ukupan zbroj znamenaka jednak $10$?