Koliko najviše elemenata može imati podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,2017\}$ tako da za svaka dva elementa $a$ i $b$ tog podskupa broj $a + b$ nije djeljiv brojem $a - b$?

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Kvadrat $ABCD$ ima stranicu duljine 1. Neka je točka $X$ na stranici $\overline{AB}$, a točka $Y$ na stranici $\overline{AD}$ tako da je $\measuredangle CXY = 90°$. Odredi položaj točke $X$ za koji je površina trokuta $CDY$ najmanja moguća.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba

$$x^2 - 3nx + n + 3 = 0$$

ima cjelobrojna rješenja.

Dane su dvije kružnice koja se ne sijeku, polumjera $r_1$ i $r_2$. Udaljenost dirališta zajedničke unutarnje tangente na te kružnice iznosi $12$, a udaljenost dirališta zajedničke vanjske tangente na te kružnice iznosi $16$. Odredi umnožak $r_1r_2$.

Unutarnja tangenta (je ona zajednička tangenta koja) siječe dužinu koja spaja središta kružnica.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj. Dokaži da među bilo kojih $n$ brojeva iz skupa

$$\{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$$

postoji nekoliko brojeva čiji je zbroj djeljiv s $2n$.

Odredi vrijednost realnog parametra $p$ tako da rješenja jednadžbe

$$(p - 3)x^2 + (p^2 + 1)x - 11p + 18 = 0$$

budu duljine kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine $\sqrt{17}$.

Odredi sve parove $(a, n)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi

$$3a^2 + 2^n = a^4.$$

Dokaži da za nenegativne realne brojeve $a$ i $b$ takve da je $a + b \leq 2$ vrijedi

$$\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \leq \frac{2}{1 + ab}.$$

Kada se postiže jednakost?

Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AB}$ duljine $2$. Neka je $T$ diralište tangente iz točke $A$ na kružnicu promjera $\overline{PB}$. Odredi duljinu $|PT|$.

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljeni su kraljevi i topovi, tako da nijedna figura nije napadnuta. Kralj napada susjedna polja (njih osam, osim kada je na rubu ploče), a top napada sva polja u retku i stupcu u kojem se nalazi. Koliko je najviše figura na ploči ako je broj topova jednak broju kraljeva?

Odredi sve uređene trojke $(x,y,z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$x ^ {2} + y ^ {2} = 5, \qquad x z + y = 7, \qquad y z - x = 1.$$

Odredi sve uređene parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takve da je $V(a,b) - D(a,b) = \dfrac{ab}{5}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$3 \sqrt [ 3 ]{(14 - x) ^ {2}} - 2 \sqrt [ 3 ]{(14 + x) ^ {2}} = 5 \sqrt [ 3 ]{x ^ {2} - 196}.$$

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Na koliko se načina u polja ploče dimenzija $2 \times n$ mogu upisati brojevi $1,2,\ldots,2n$ tako da uzastopni brojevi budu u poljima sa zajedničkom stranicom?

Odredi sve parove realnih brojeva $(a, b)$ koji zadovoljavaju sustav:

$$a^2 + b^2 = 25,$$

$$3(a + b) - ab = 15.$$

Odredi sve trojke prostih brojeva čiji je zbroj kvadrata umanjen za $1$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$.

Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x = -1$, a jedna nultočka joj je $x = 3$. Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x = 3$, a jedna nultočka joj je $x = -1$.

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $D$ točka na luku $\widehat{CA}$ tom trokutu opisane kružnice koji ne sadrži točku $B$. Neka je $E$ točka takva da je $D$ polovište dužine $\overline{AE}$. Ako je $\measuredangle ECA = 90°$ i $\measuredangle IEC = 40°$, odredi $\measuredangle BAC$.

Neka je $n$ prirodni broj. Ako pravilan $n$-terokut podijelimo na $n-2$ trokuta povlačenjem $n-3$ dijagonala koje nemaju zajedničkih unutarnjih točaka kažemo da smo dobili triangulaciju. Triangulacija $n$-terokuta kojem su neki od vrhova crveni je dobra ako svaki od tih $n-2$ trokuta ima barem dva crvena vrha.

Odredi najmanji prirodni broj $k$, u ovisnosti o $n$, takav da možemo obojiti $k$ vrhova pravilnog $n$-terokuta crveno tako da postoji barem jedna dobra triangulacija.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\sqrt{|x - 1| + |x + 4|} = |x|.$$

Neka su $a, b \in \mathbb{R}$. Rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + 1 = 0$ su realna. Ako svako od tih rješenja umanjimo za 1, dobit ćemo rješenja kvadratne jednadžbe $bx^2 + x + a = 0$. Odredi sve takve realne brojeve $a, b$.

Prirodni broj zovemo ljepuškastim ako zbrojen s nekim svojim djeliteljem daje rezultat 360. Odredi zbroj svih ljepuškastih brojeva.

Svi vrhovi šesterokuta $ABCDEF$ leže na kružnici promjera $\overline{AD}$. Pravac $BF$ siječe pravce $AD$ i $CE$ redom u točkama $G$ i $H$. Ako je $\measuredangle FEH = 56°$, $\measuredangle DGB = 124°$ i $\measuredangle DEC = 34°$, odredi $\measuredangle CEB$.

Prirodni broj $\overline{a_1a_2\ldots a_m}$ (uz $a_1 \neq 0$) je koncizan ako je broj $\overline{a_ia_{i+1}\ldots a_{i+k-1}}$ djeljiv s $k$ za sve prirodne brojeve $i$, $k$ takve da je $1 \leqslant k \leqslant m$ i $1 \leqslant i \leqslant m - k + 1$.

Na primjer, broj $102$ je koncizan jer su brojevi $1$, $0$ i $2$ djeljivi s $1$, brojevi $10$ i $2 (= \overline{02})$ djeljivi s $2$ te broj $102$ djeljiv s $3$.

Dokaži da postoji najveći koncizni prirodni broj i odredi ga.

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x) = \dfrac{2023}{x^2 - a^2 - x - a}$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Unutar paralelograma $ABCD$ odabrana je točka $T$ tako da vrijedi $|TC| = |BC|$. Neka su $P$ i $M$ redom polovišta dužina $\overline{CD}$ i $\overline{AT}$. Dokaži da je pravac $BT$ okomit na pravac $PM$.

Žaba Žana nalazi se ishodištu brojevnog pravca, te u svakom koraku skače za jedan ulijevo, za jedan udesno ili ostaje na mjestu. Lina i Dina izabrale su relativno proste brojeve $m$ i $n$, gdje je $m > n$. Nakon svakih $n$ koraka Lina zapovijeda: „Lijevo!", a nakon svakih $m$ koraka Dina zapovijeda: „Desno!" Žana miruje dok ne čuje prvu zapovijed, a nakon toga počinje (ili nastavlja) skakati u smjeru prema zapovijedi. Zaustavlja se u prvom koraku u kojem čuje obje zapovijedi. U ovisnosti o brojevima $m$ i $n$ odredi na kojoj se udaljenosti od ishodišta Žana zaustavila.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{x^2 + x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 1.$$

Neka je $a$ realan broj. Ako jednadžba $x^2 - ax + a = 0$ ima dva (ne nužno različita) realna rješenja $x_1$ i $x_2$, dokaži da vrijedi $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2(x_1 + x_2)$.

Odredi sve uređene trojke $(m, n, p)$, pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost broj, za koje vrijedi $$(2m + 3)(4n + 1) = pmn.$$

Polukrug promjera $\overline{PQ}$ upisan je u pravokutnik $ABCD$ i dira njegove stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$. Pritom se točka $P$ nalazi na stranici $\overline{BC}$, a točka $Q$ na stranici $\overline{CD}$. Ako je $|BP| = 2$ i $|DQ| = 1$, odredi $|PQ|$.

Koliko ima prirodnih brojeva čiji zapis u dekadskome sustavu sadržava svaku od deset znamenaka $0, 1, 2, ..., 9$ točno jednom, a svaka je znamenka, osim znamenke $9$, manja od barem jedne njoj susjedne znamenke?

Nad jednom stranicom pravokutnika kao promjerom nacrtan je polukrug. Uniju toga pravokutnika i polukruga nazivamo prozorom. Poznato je da je opseg prozora 4 m. Odredi promjer polukruga tako da površina prozora bude najveća moguća.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - y} = z - 1 \\ \sqrt{y^{2} - z} = x - 1 \\ \sqrt{z^{2} - x} = y - 1. \end{array} \right.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Dan je raznostraničan trokut $ABC$. Neka je $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Okomica na pravac $CP$ u točki $P$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $X$ i $Y$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$ te $Y$ između $B$ i $C$. Pretpostavimo da vrijedi $|AX| \cdot |AC| = |BY| \cdot |BC|$. Dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Dana je ploča dimenzija $10 \times 10$. U gornjem lijevom polju ploče nalazi se muha. Muha se može kretati na dva načina – korakom i letom. Korak je pomak na polje neposredno ispod ili desno od polja na kojem se trenutno nalazi. Letom muha prelazi sa zadnjeg (krajnjeg desnog) polja na prvo (krajnje lijevo) polje u istom retku ili sa zadnjeg (donjeg) polja na prvo (gornje) polje u istom stupcu.

Koji je najmanji broj letova koje muha mora napraviti da bi posjetila svako polje ploče točno jednom?

Odredi sve vrijednosti realnog parametra $m$ za koje jednadžba $x^{2} + (1 - m)x + m + 1 = 0$ ima dva različita realna rješenja pri čemu je veće rješenje manje od dvostrukog manjeg rješenja.

Odredi najmanji prirodni broj koji ima tri različita pozitivna djelitelja čiji je umnožak $14^{600}$.

U kvadrat $ABCD$ upisan je jednakostranični trokut $CEF$ tako da se točka $E$ nalazi na stranici $\overline{AD}$, a točka $F$ na stranici $\overline{AB}$. Neka je $G$ polovište dužine $\overline{CE}$. Dokaži da je trokut $ABG$ jednakostraničan.

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$ab \left(\frac {a + b}{2} - c\right) + bc \left(\frac {b + c}{2} - a\right) + ca \left(\frac {c + a}{2} - b\right) = 0.$$

Ana i Borna igraju igru na $3 \times 3$ ploči. Na početku Ana u polja ploče upiše sve prirodne brojeve od $1$ do $9$. Zatim Borna odabire jedan put od gornjeg lijevog do donjeg desnog polja koji sadrži točno pet polja. Na kraju određuju zbroj brojeva upisanih u polja odabranog puta. Ana želi da taj zbroj bude što veći, a Borna da bude što manji. Ako oboje igraju optimalno, koliki će biti taj zbroj?

(Put je niz polja od kojih svaka dva uzastopna imaju zajedničku stranicu.)

Brojevi $1, 2, 7$ imaju svojstvo $1 \cdot 2 + 2 = 2^2$, $1 \cdot 7 + 2 = 3^2$, $2 \cdot 7 + 2 = 4^2$. Dokažite da ne postoje četiri različita prirodna broja sa svojstvom da je produkt svaka dva među njima uvećan za $2$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Neka su $z$ i $w$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z| = |w| = |z - w|$. Izračunajte $\left(\dfrac{z}{w}\right)^{1992}$.

Dva sukladna pravokutnika postavljena su tako da se njihovi rubovi sijeku u $8$ točaka. Dokažite da je površina njihovog presjeka veća od polovine površine svakog od njih.

Defektna $d \times d$ šahovska ploča je $d \times d$ šahovska ploča s uklonjenim jednim kvadratićem (bilo kojim). Dokažite da se svaka defektna $2^n \times 2^n$, $n \in \mathbb{N}$ šahovska ploča može pokriti trionimima, figurama od tri polja u obliku slova L.