Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite boje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako vrijedi $|\measuredangle ACB| = 2|\measuredangle BAC|$ i $|AI| = |BC|$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$.

Ako je $|AI| = |BC|$ i $\measuredangle ACB = 2\measuredangle BAC$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Za realni broj $x$, neka $\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$11 \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{2} \right\rfloor = 9x.$$

Neka je $n$ prirodni broj veći od $1$ takav da su $2n - 1$ i $3n - 2$ kvadrati prirodnih brojeva.

Dokaži da je broj $10n - 7$ složen.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $\measuredangle BAD = 50°$, $\measuredangle ADB = 80°$ i $\measuredangle ACB = 40°$.

Ako je $\measuredangle DBC = 30° + \measuredangle BDC$, izračunaj $\measuredangle BDC$.

Marko ima $2n$ kartica ($n \in \mathbb{N}$), po dvije kartice sa svakim od brojeva $1,2,\ldots,n$. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki $k$ iz skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ između dviju kartica s brojem $k$ nalazi točno $k$ drugih kartica.

Dokaži da je broj $n^2 + n$ djeljiv s $4$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da vrijedi $$a^3 - 3b = 15,$$ $$b^2 - a = 13.$$

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Neka je $k$ kružnica s promjerom $\overline{AB}$ i $t$ tangenta kružnice $k$ s diralištem u točki $A$. Neka je $P$ bilo koja točka na kružnici $k$ i neka je $N$ ortogonalna projekcija točke $P$ na pravac $t$. Odredi kut $\measuredangle ABP$ za koji izraz $|PB| + |PN|$ ima najveću moguću vrijednost.

Promatramo sve pravokutne ploče čija je polja moguće obojati tako da u svakom retku bude točno $14$ plavih polja, u svakom stupcu točno $10$ crvenih polja i da na cijeloj ploči budu točno $3$ polja koja nisu ni crvena ni plava.

Odredi dimenzije takve ploče koja ima najmanji ukupan broj polja.

U trokutu $ABC$ simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Neka su $a$ i $b$ redom duljine stranica $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$, redom. Ako vrijedi $|CD| = \dfrac{ab}{a + b}$, odredi $\measuredangle ACB$.

Postoji li prirodni broj $m$ takav da $7$ dijeli $2^{m^2} - 4$?

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine $3$, a svi ostali duljine $2$. Odredi obujam tog tetraedra.

Koliko najviše cijelih brojeva može sadržavati konačni skup $S$ takav da među svaka tri elementa skupa $S$ postoje dva različita broja čiji zbroj je također u $S$?

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab, \quad a^2 - b^2 + c^2 = \sqrt{2} ac.$$

Odredi omjer $b : c$.

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DBC = \measuredangle DCB = 50°$ i $\measuredangle DAB = \measuredangle ABC = \measuredangle BDC$. Dokaži da je $AC \perp BD$.

Neka je $n$ prirodni broj. Niz od $2n$ realnih brojeva je dobar ako za svaki prirodni broj $1 \leqslant m \leqslant 2n$ vrijedi da je zbroj prvih $m$ ili zbroj zadnjih $m$ članova niza cijeli broj. Odredi najmanji mogući broj cijelih brojeva u dobrom nizu.

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Četiri sfere polumjera $R$ leže na bazi stošca tako da svaka dodiruje dvije od preostalih sfera te plašt stošca. Peta sfera istog polumjera dodiruje prve četiri sfere i plašt stošca. Odredi volumen tog stošca.

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.

Za par brojeva $\{a, b\}$ kažemo da ima težinu $|a - b|$. Na koliko se načina skup $\{1, 2, \ldots, 12\}$ može razdijeliti na šest parova tako da ukupan zbroj težina tih parova bude $30$?

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Središte $I$ upisane kružnice i središte $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ su osnosimetrične točke u odnosu na pravac $AB$. Točka $D$ je drugo sjecište pravca $AO$ i opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da vrijedi $|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AO|$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $2^m - 63$ kub nekog cijelog broja.

U nekom arhipelagu je $n$ otoka među kojima prometuju dvosmjerne brodske i avionske linije. Između svaka dva otoka postoji točno jedna direktna linija – ili brodka, ili avionska. Kažemo da je arhipelag uredno povezan ako svako kružno turističko putovanje koje počinje i završava na istom otoku koristi paran broj avionskih linija.

Za koje prirodne brojeve $n$ svaki uredno povezan arhipelag s $n$ otoka ima paran broj avionskih linija?

Odredi sve realne brojeve $x, y$ za koje vrijede jednakosti $$x^{\log y} + \sqrt{y^{\log x}} = 110 \quad \text{i} \quad xy = 1000.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $\alpha, \beta \in \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ vrijedi $$\frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \beta} \geqslant 2\sqrt{\tan \alpha + \tan \beta}.$$ Kada vrijedi jednakost?

U trokutu $ABC$ točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a točka $D$ sjecište stranice $\overline{AC}$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Ako je $\measuredangle MDB = 90°$, dokaži da vrijedi $|AB| = 3|BC|$.

Postoji li pet međusobno različitih prirodnih brojeva takvih da je zbroj bilo kojih triju od njih djeljiv zbrojem preostalih dvaju?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje se svi elementi skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ mogu raspodijeliti na $k$ međusobno disjunktnih skupova koji imaju jednak broj elemenata, tako da svaki od tih skupova sadrži aritmetičku sredinu svojih elemenata ako je

a) $k = 2$,

b) $k = 3$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $\measuredangle ACB = 60^\circ$, $|AC| = \sqrt{3} - 1$ i $|BC| = 2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle ACM$.

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.

Dana je ploča $n \times n$, obojana poput šahovske, pri čemu je gornje lijevo polje crne boje. Azra u svakom koraku bira šest polja ploče koja tvore $2 \times 3$ ili $3 \times 2$ pravokutnik i sadrže točno tri bijela polja, te ta tri polja zacrni. Za koje $n$ Azra može postići da sva polja budu crne boje?

Za koje realne brojeve $x$ vrijedi $$5^{2x} + 4^x < 29 \cdot 10^{x-1}?$$

Neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke na opisanoj kružnici šiljastokutnog trokuta $ABC$ takve da su $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$ i $\overline{CC_1}$ promjeri te kružnice. Dokaži da vrijedi $$|A_1B| \cdot |B_1B| + |B_1C| \cdot |C_1A| = |AC| \cdot |BC|.$$